弱星拓扑与 Banach–Alaoglu 定理

可以把 $f\in X^{\prime }$ 理解成一台线性测量仪，输入 $x$ 后返回 $f(x)$。范数界 $\Vert f\Vert \le 1$ 表示：任何输入 $x$ 的读数都不会超过 $\Vert x\Vert$。于是每个固定输入对应一个紧的读数区间或圆盘，所有可能读数一起组成乘积空间。

这些读数不能任意拼接。若输入 $x+y$ 的读数与输入 $x$、$y$ 的读数之和不一致，就不是线性测量仪。证明先把候选读数放进紧乘积，再用闭等式筛出相容的读数表。闭性使极限仍满足等式，所以极限重新组成一个连续线性泛函；这一步是从“每个读数有候选极限”走到“极限是一台合法测量仪”的关键。

弱星邻域一次只检查有限个输入，因此恰好适合积拓扑。范数邻域则要求所有单位输入的读数同时接近，这个统一要求强得多。Banach–Alaoglu 得到紧性，并不意味着仪器在所有输入上的最大误差会趋零。

可分性进一步让一列稠密输入足以控制整个有界对偶球。先在这些输入上取得极限，再用同一个范数界控制逼近误差，就能推广到任意输入。这解释了为什么下面的度量和对角抽取都同时需要“稠密测试集”与“统一范数界”。

从定义算出 $({\ell }^1{)}^{\prime }={\ell }^{\mathrm{\infty }}$ ​

设 ${\ell }^1$ 是满足 $\sum _k|x_k|<\mathrm{\infty }$ 的标量序列空间，范数为 $\Vert x{\Vert }_1=\sum _k|x_k|$；${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 是有界序列空间，范数为 $\Vert a{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{k}{sup}|a_k|$。给定 $a\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}$，定义

级数绝对收敛，且 $|f_a(x)|\le \Vert a{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert x{\Vert }_1$，所以 $f_a\in ({\ell }^1{)}^{\prime }$。记 $e_k$ 为第 $k$ 个坐标为 $1$、其余为零的序列，则 $f_a(e_k)=a_k$ 且 $\Vert e_k{\Vert }_1=1$，故

合并两方向的不等式，得到 $\Vert f_a\Vert =\Vert a{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。这里无需假设上确界在某一坐标取到。

反过来，给定 $f\in ({\ell }^1{)}^{\prime }$，令 $a_k=f(e_k)$，则 $|a_k|\le \Vert f\Vert$，所以 $a\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}$。对任意 $x\in {\ell }^1$，有限截断 $x^{[N]}=\sum _{k=1}^N{x}_k{e}_k$ 在 ${\ell }^1$ 范数下趋于 $x$。由 $f$ 连续，

因此上述对应是等距线性双射。复数情形仍使用写出的双线性配对 $\sum _k{a}_k{x}_k$，不额外插入共轭。

有界序列的坐标极限怎样变成弱星极限 ​

现在把 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 视为 ${\ell }^1$ 的连续对偶。设 $\Vert a^{(n)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$，且每个坐标 $a_k^{(n)}\to a_k$。取极限可得 $|a_k|\le M$，所以 $a\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}$。对任意固定 $x\in {\ell }^1$，把配对拆成有限部分和尾部：

先选 $N$ 使尾部任意小，再让 $n$ 增大使有限部分趋零，就得到 $a^{(n)}\stackrel{\ast }{\rightharpoonup }a$。反向只需用 $x=e_k$ 测试。因此在统一有界的集合里，坐标收敛与弱星收敛一致。有限支撑且坐标取有理数的序列构成 ${\ell }^1$ 的可数稠密集；复数情形取有理实部、虚部。因此这里也满足定理的可分性假设。

统一界不可删去。令 $a^{(n)}=n{e}_n$，则每个固定坐标最终为零。取

便有 $\Vert x{\Vert }_1=\sum _{j\ge 1}{2}^{-j}=1$，但 $f_{a^{(2^j)}}(x)=1$。所以坐标虽趋零，弱星却不趋零；失效的正是尾部估计中独立于 $n$ 的常数 $2M$。

两个序列分清三种收敛 ​

第一例是单位脉冲 $e_n\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}$。对每个 $x\in {\ell }^1$，有 $f_{e_n}(x)=x_n\to 0$，故 $e_n\stackrel{\ast }{\rightharpoonup }0$。然而

它没有范数收敛子列，因而说明对偶闭球的弱星紧性远弱于范数紧性。

要区分弱收敛与弱星收敛，改用实空间中的尾序列

对每个 $x\in {\ell }^1$，

所以 $u^{(n)}\stackrel{\ast }{\rightharpoonup }0$，而 $\Vert u^{(n)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$。但是 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 的弱拓扑还允许更多测试。令 $c\subset {\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 是所有收敛序列组成的线性子空间，在其上定义普通极限泛函

因为 $|L_0(a)|\le \Vert a{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$，且常数序列 $\mathbf{1}$ 使不等式取等号，故 $\Vert L_0\Vert =1$。Hahn–Banach 定理公理库Hahn–Banach 定理Hahn–Banach theorem在保持控制不等式或范数的条件下把子空间上线性泛函延拓到全空间。把它保范延拓成 $L\in ({\ell }^{\mathrm{\infty }}{)}^{\prime }$。每个 $u^{(n)}$ 都属于 $c$，其坐标尾部恒为 $1$，所以

于是这个固定的连续线性测试排除了弱收敛到零。事实上它不可能弱收敛到别的点：弱收敛必然推出弱星收敛，而弱星极限已唯一确定为零。这里使用的只是普通极限的保范延拓，不需要额外构造平移不变的泛函。

可分原空间上的显式度量 ​

设 $X$ 可分，在它的闭单位球中取范数稠密序列 $(x_j{)}_{j\ge 1}$。固定 $M>0$，对 $f,g\in B_M$ 定义

级数由 $\sum _j{2}^{-j}=1$ 控制，非负性与对称性显然。若 $\rho (f,g)=0$，则所有 $(f-g)(x_j)=0$；由稠密性与 $f-g$ 连续，可知它在整个单位球上为零，再由缩放知 $f=g$。三角不等式来自标量三角不等式及

所以 $\rho$ 是度量。接下来用邻域的包含关系证明它产生的恰是 $B_M$ 上的弱星拓扑，避免仅比较收敛序列。

给定 $\rho$ 球的半径 $\epsilon >0$，选 $N$ 使 $\sum _{j>N}{2}^{-j}<\epsilon /2$。若 $g$ 属于弱星邻域

则度量的前 $N$ 项之和小于 $\epsilon /2$，尾部也小于 $\epsilon /2$，所以 $V\subseteq \{g:\rho (f,g)<\epsilon \}$。这说明任何度量球都包含以同一点为中心的弱星邻域。

反过来，取一个弱星基本邻域，要求 $|(g-f)(y_i)|<\epsilon$。先删去自动满足的零向量条件，将余下的非零向量重新编号为 $y_1,\dots ,y_m$。令 $v_i=y_i/\Vert y_i\Vert$、${\eta }_i=\epsilon /\Vert y_i\Vert$；为每个 $i$ 选 $x_{j_i}$，使 $2M\Vert v_i-x_{j_i}\Vert <{\eta }_i/2$。统一范数界给出

取 $t_i=min\{1/2,{\eta }_i/2\}$，再取正数

若 $\rho (f,g)<\delta$，则第 $j_i$ 项迫使 $min\{1,|(g-f)(x_{j_i})|\}<t_i<1$，从而 $|(g-f)(x_{j_i})|<t_i\le {\eta }_i/2$。上面的估计遂给出 $|(g-f)(y_i)|<\epsilon$。因此每个弱星基本邻域也包含一个 $\rho$ 球，两种拓扑相等。若所有 $y_i$ 都是零向量，则整个球就是该邻域，无须选取 $\delta$；$M=0$ 的单点球也无需此构造。

这个证明只在固定 $B_M$ 上使用。离开统一有界的集合，稠密集上的读数未必能控制其他输入，不能直接把这里的度量声明为整个 $X^{\prime }$ 的弱星度量。结合 Banach–Alaoglu，$B_M$ 是紧度量空间，因此具有序列紧性。

直接抽取子列，并构造极限泛函 ​

也可以不借助“紧度量空间必序列紧”来执行抽取。设 $\Vert f_n\Vert \le M$。由于 $|f_n(x_j)|\le M$，第一个读数序列有收敛子列；从该子列中再抽取第二个读数收敛的子列，依次进行。取第 $k$ 层子列中的第 $k$ 项，得到对角子列 $f_{n_k}$。对每个固定 $j$，这条对角线除有限项外都落在第 $j$ 层子列里，所以 $f_{n_k}(x_j)$ 收敛。

对单位球中的任意 $x$，有

先用稠密性使第二项小，再用第 $j$ 个读数的收敛使第一项小，就证明 $f_{n_k}(x)$ 为 Cauchy 序列。任意非零 $x\in X$ 可先除以 $\Vert x\Vert$，因此每个输入都有标量极限。定义

把极限代入 $f_{n_k}(x+\alpha y)=f_{n_k}(x)+\alpha f_{n_k}(y)$，得到 $f$ 线性；把极限代入 $|f_{n_k}(x)|\le M\Vert x\Vert$，得到 $|f(x)|\le M\Vert x\Vert$。于是 $f\in B_M$，而它的定义恰好给出 $f_{n_k}\stackrel{\ast }{\rightharpoonup }f$。整个过程只要求标量域完备，不要求 $X$ 完备。

将有界近似解保留到极限 ​

例如 $X$ 可分，$\Vert f_n\Vert \le M$，并且对指定的输入族 $(y_i{)}_{i\in I}$ 有 $f_n(y_i)\to b_i$。上述抽取给出一个 $f\in B_M$，且对每个 $i$ 都有 $f(y_i)=b_i$。因此有限或无限个求值等式都能沿弱星极限保存；在乘积证明中，这正对应闭坐标约束。应用时，先从问题中获得统一范数界，再检查所需条件能否由这些连续读数表达。

若 $X$ 不可分，Banach–Alaoglu 仍保证闭对偶球紧，但这一本身不允许把任意有界序列换成收敛子列；一般紧性保证的是网有收敛子网。可分假设在这里的作用，是把对所有输入的控制压缩成可数次抽取，而非给紧性证明补上一个缺失条件。