三维 Sobolev 嵌入与紧性

一阶能量限制一个函数如何沿空间方向变化。三维中，能量有界仍允许尖峰越来越高，因此它不能像一维那样控制每个点的值。不过高峰也必须越来越窄：六次积分恰好是高度增长与体积收缩彼此抵消的尺度。

紧性还需要避免函数形状在有限观察精度下不断产生新变化。梯度界限制小幅平移的误差；把每个函数以同一尺度光滑化后，只需有限个采样点便能近似整族函数。先让光滑化尺度小，再逐步抽取，就能得到强收敛。临界指数处的集中尖峰仍保留完整质量，所以这一步只能推进到 $q<6$。

零延拓为什么合法 ​

对 $u\in H_0^1(\mathrm{\Omega })$，取 $u_j\in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 在 $H^1$ 中逼近它。将 $u_j$ 延拓为零，得到 $C_c^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^3)$ 中的函数；零延拓前后，函数与梯度的 $L^2$ 范数都相同。因此这列延拓在 $H^1({\mathbb{R}}^3)$ 中 Cauchy，其极限就是 $u$ 的零延拓 $\tilde{u}$，弱梯度等于各梯度的零延拓。

这份证明直接使用闭包，没有给任意边界上的点值赋义。特别地，不会在边界凭空增加跳跃导数。下文可在整空间证明估计，再限制回 $\mathrm{\Omega }$。

临界指数为何不能再换成紧性 ​

固定内点 $x_0$，取非零 $\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(B(0,1))$。当 $\epsilon$ 足够小时，

支撑在 $\mathrm{\Omega }$ 内。换元 $y=(x-x_0)/\epsilon$ 逐项得到

当 $q<6$ 时，最后一个指数为正，尖峰在 $L^q$ 中消失；当 $q=6$ 时，范数恒定。另一方面，对每个 $x\ne x_0$，函数最终都为零，所以沿任意 ${\epsilon }_n\downarrow 0$，唯一可能的几乎处处极限为零。若有一个 $L^6$ 强收敛子列，再抽几乎处处收敛子列便知其极限为零，与不变的非零 $L^6$ 范数矛盾。由此排除临界紧性。$q>6$ 时范数甚至发散，排除了同形式的统一嵌入界。

这组换元还可以完全数值化。改取紧支撑锥形函数 $\phi (y)=(1-|y|{)}_{+}$，它连续、分片光滑，弱梯度在单位球内几乎处处长为 $1$，球外为零。球面处函数没有跳跃，因此没有额外的边界分布项。它属于 $H^1({\mathbb{R}}^3)$，缩放后的支撑离 $\partial \mathrm{\Omega }$ 有正距离，光滑化即可证明 $u_{\epsilon }\in H_0^1(\mathrm{\Omega })$。球坐标给出

因而 $\epsilon =1/2$ 与 $1/4$ 时，梯度能量同为 $4\pi /3$，平方积分从 $\pi /30$ 降为 $\pi /120$，六次积分却一直为 $\pi /63$。观察指数不同，看到的“集中质量”也不同。

图中折线只是穿过球心的一维截面；表内三项均在三维空间积分，不能用折线下的平面面积代替。两种尺度须选在各自支撑球包含于 $\mathrm{\Omega }$ 的情形下；例如可取 $\mathrm{\Omega }=B(x_0,1)$。

零边界与有界区域分别负责什么 ​

在有界区域上，非零常数属于 $H^1$，但梯度为零，所以不能对整个 $H^1(\mathrm{\Omega })$ 写出只有梯度的右端。零边界条件恰好去掉了这个方向。

整空间的 Sobolev 六次估计仍成立，但有界支撑不能省略于紧性论证。令 $v_n(x)=\phi (x-3n{e}_1)$，支撑两两不交，$H^1$ 范数相同，而对任何有限 $q$，

于是没有 $L^q$ Cauchy 子列。这里失败的原因是质量移向无穷远，与前一例中质量向一个内点集中不同。

三个方向的积分如何给出六次估计 ​

先证一个 $W^{1,1}$ 型估计。对紧支撑 $C^1$ 函数 $v$，沿每个坐标轴积分可得

其中 $A(y,z)={\int }_{\mathbb{R}}|{\partial }_{1}v(t,y,z)|dt$，$B,C$ 类似。因此 $|v{|}^{3/2}\le \sqrt{ABC}$。以下两次 Cauchy–Schwarz 与Fubini 换序公理库Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。把三个方向重新合起来：

每个最后的积分都是一个偏导数的 $L^1$ 范数。取 $2/3$ 次方，并用几何平均不超过算术平均，得到

现在对实值 $u\in C_c^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^3)$ 取 $v=u^4$。指数恰好配平：

最后一步是Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。。若 $\Vert u{\Vert }_6>0$，相除就得到所需估计；零函数直接成立。对 $H_0^1$ 的零延拓取光滑逼近，估计使逼近列也在 $L^6$ 中 Cauchy；其 $L^6$ 极限与原来的 $L^2$ 极限几乎处处一致。连续嵌入由此扩展到整个空间。

先在 L2 中留下一个强极限 ​

对整空间 $H^1$ 函数，沿线段积分、Cauchy–Schwarz 再对 $x$ 积分，给出平移估计

先对光滑函数证明，再用 $H^1$ 逼近即可得到一般版本。取非负光滑函数 $\rho$，支撑于单位球且积分为 $1$，令 ${\rho }_{\delta }(x)={\delta }^{-3}\rho (x/\delta )$。用卷积公理库卷积Convolution · 卷积运算在加法群上把两份测度按加法映射推前，汇总所有可合成为同一输出的输入贡献。作统一光滑化：

若零延拓后的 $(u_n)$ 有共同 $H^1$ 界，它们的支撑都在同一有界集内。对固定 $\delta >0$，Cauchy–Schwarz 给出

所以光滑化后既有统一高度界，也有统一 Lipschitz 界，并且全部支撑在同一个大立方体内。给定误差，选有限细网格，再把各网格点的有界取值舍入到有限刻度；Lipschitz 界控制网格之间的差。这给出有限个一致范数近似，因而也给出有限个 $L^2$ 近似。

最后，先使 $\delta \underset{n}{sup}\Vert \mathrm{\nabla }{u}_n{\Vert }_2$ 小于指定误差的一半，再用光滑化函数的有限近似补上另一半。原函数族在 $L^2$ 中也完全有界。用误差 $2^{-j}$ 的有限球覆盖逐层选择包含无限多个项的球，得到 Cauchy 子列；$L^2$ 完备性产生强极限。这把紧性实际归结为平移控制和有限采样。

用插值达到所有次临界指数 ​

设抽出的子列在 $L^2$ 中趋于 $u$，且其 $L^6$ 范数统一有界。再抽几乎处处收敛子列并用 Fatou，可知 $u\in L^6$ 且保留同一上界。对 $2<q<6$，取 $0<\theta <1$ 使 $1/q=\theta /2+(1-\theta )/6$。Hölder 的插值形式给出

对 $1\le q<2$，有限测度上的包含估计直接把 $L^2$ 收敛转成 $L^q$ 收敛。一个固定的 $L^2$ 子列因此同时适用于每个 $q<6$。

若原列已弱收敛公理库弱拓扑与弱收敛Weak topology · Weak convergence in a Banach space用连续线性泛函定义收敛，在 Hilbert 和有限 Lebesgue 区域的 Lp 空间中构造有界序列的弱子列，并辨认端点集中与弱星紧性的边界。到 $u$ 于 $H_0^1$，任意强 $L^q$ 子列极限必须仍为 $u$：用紧支撑光滑函数积分测试，弱收敛与强收敛给出同一读数。若整列在某个 $L^q$ 中不收敛，就有误差下界为正的子列；再抽强收敛子列即得矛盾。这证明形式陈述中的整列结论。

非线性弱方程的可用接口 ​

三维 $H_0^1$ 函数属于 $L^4$，所以四次能量 $\int u^4$ 有限。更进一步，弱 $H_0^1$ 收敛带来强 $L^4$ 收敛，进而使四次积分真正收敛。变分法的直接法公理库变分法的直接法Direct method in the calculus of variations从有界极小化序列、弱极限和下半连续性证明极小点存在，以一维点值与三维紧嵌入分别完成四次势能的唯一弱解及精确算例。用这个接口处理 $-\mathrm{\Delta }u+u^3=f$ 的零边界问题：梯度能量留下弱极限，紧嵌入保存非线性项，严格凸性给出唯一解。

这一步没有给出网格、离散误差或线性求解器的收敛率。它提供的是连续问题中允许使用的函数空间与极限操作；离散分析还须另行验证逼近空间与解的更高正则性。