线性映射的核与像

核测量映射丢掉了哪些方向。若 $v\in \ker T$，沿 $v$ 移动不会改变输出，因为

因此，任意两个输入 $u,v$ 得到同一输出，当且仅当 $u-v\in \ker T$。线性映射是否发生“撞车”，只需检查零点的原像；这是非线性函数通常不具备的刚性。

像描述映射真正覆盖的输出范围。对某个 $w\in W$，方程 $T(v)=w$ 有解，当且仅当 $w\in \mathrm{im}T$。若 $v_0$ 是一个特解，那么全部解构成仿射子空间

整张映射因而可以想成两步：先沿核方向把 $V$ 中平行的薄片压成一点，再把这些点嵌入 $W$ 中形成像。

这幅图像同时解释了单射与满射。核平凡意味着没有两个不同输入被压到一起；像等于陪域意味着每个允许的输出都能达到。两项性质分别由定义域和陪域控制，不能只看矩阵公式而忽略映射的完整类型。

投影

的核是纵轴 $\{(0,y)\}$，像是整个 $\mathbb{R}$。每个 $c\in \mathbb{R}$ 的原像是一条竖直直线 $x=c$，这些平行直线正是核的平移。

设 $n\ge 1$。对求导算子

核是常数多项式，像是次数至多 $n-1$ 的多项式。若把陪域改成 $\mathbb{R}[x{]}_{\le n-1}$，同一个求导公式变成满射；若陪域仍是 $\mathbb{R}[x{]}_{\le n}$，它就不是满射。像没有改变，满射性却改变了，这说明陪域不能从线性映射的定义中省略。

矩阵

对输入 $(s,t)$，先算出 $A(s,t{)}^{\mathsf{T}}=(s+2t)(1,2{)}^{\mathsf{T}}$。输出只取决于一个数 $s+2t$，因此得到

求核时令 $s+2t=0$，得到 $(s,t)=t(-2,1)$；求像时注意 $s+2t$ 可以任取，因而恰好得到 $(1,2)$ 的全部倍数。两次计算分别在输入平面和输出平面进行。

例如 $b=(3,6)$ 时，可取特解 $(3,0)$，全部解为 $(3-2t,t)$。代入后输出总是 $(3,6)$，而 $b=(3,5)$ 不可达，因为第二个输出坐标必须是第一个的两倍。这一个例子同时展示了可解性、自由度和核平移结构。

另取求值映射

任意 $(u,v)$ 都由一次多项式 $p(x)=u+(v-u)x$ 实现，所以 $T$ 满射。核是同时在 $0,1$ 处为零的多项式：

维数为 $2$。像也有维数 $2$，与定义域维数 $4$ 配平。

线性性不可删除。非线性函数 $f(x)=x^2$ 只有 $0$ 映到 $0$，却把 $1$ 与 $-1$ 映到同一点；“零点原像平凡便单射”的判据在这里失效。非线性零点集和值域也通常不是子空间。

秩–零化度定理公理库秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。把两部分的维数精确联系起来：

在线性方程组中，像决定是否存在解，核决定解有多少自由方向。这个分工比只计算行列式更一般，也适用于长方形矩阵和抽象线性算子。

用商向量空间公理库商向量空间Quotient vector space按子空间诱导的陪集等价关系取商并继承向量运算的空间。表述的第一同构定理

把“沿核压扁，再得到像”的直觉写成严格同构。在 $V,W$ 都有限维时，还能把它变成具体的坐标构造。先取核基 $k_1,\dots ,k_s$，补入 $u_1,\dots ,u_r$ 成为 $V$ 的基。秩–零化度证明说明 $T(u_1),\dots ,T(u_r)$ 是像的基。为了让有效列排在前面，将输入基排序为 $(u_1,\dots ,u_r,k_1,\dots ,k_s)$，输出基则从 $(T(u_1),\dots ,T(u_r))$ 开始，再补齐到 $W$ 的基。相对于这两组适配基，$T$ 的矩阵为

前 $r$ 个输入基向量映到同序号的输出基向量，故左上块为 $I_r$；其余输入基向量属于核，故右侧列块为零。像以外的输出坐标永远为零，给出底部零块。若把核基排在输入基最前面，零列也必须移到最前面，不能仍照抄同一个块排列。

同一模式会推广到群、环与模：同态先除去核造成的不可区分，再忠实地嵌入像中。

更进一步，正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。用“前一映射的像等于后一映射的核”组织代数信息；特征空间则是 $\ker (T-\lambda I)$。在有限维内积空间中，伴随算子公理库伴随算子Adjoint operator有限维内积空间中把线性映射从内积一侧移到另一侧的唯一算子。还给出

这把可达方向与伴随映射看不见的方向配成正交互补，并成为最小二乘、正规方程和奇异值分解的基础。这里的正交关系需要内积；前面的核、像与商空间构造只需要代数线性。