线性映射的秩

秩数的是映射输出中可以独立变化的方向，而不是矩阵里有多少个非零元素，也不是映射能产生多少个不同输出。一个满是非零数的矩阵，所有列仍可能落在同一条直线上；相反，一个稀疏对角矩阵可以在每个坐标方向上都保留自由度。

从几何上看，$T$ 把整个输入空间压进一个 $r$ 维像空间；核中的变化完全不可见，核外也只有 $r$ 个独立输出方向。低秩因而等价于映射经过一个低维中间空间。若 $A$ 的秩为 $r$，就存在

其中 $B$ 满列秩、$C$ 满行秩。可先从 $A$ 的列中选出像空间的一组基作为 $B$，再把每一列在这组基下的坐标排成 $C$。反过来，$C$ 把输入送到 $F^r$，$B$ 再把这 $r$ 个坐标嵌入输出空间，所以乘积的秩正好是 $r$。

行秩等于列秩可以用行化简证明。初等行变换等于左乘可逆矩阵：它保持列之间的线性依赖关系，也保持行空间的维数。把 $A$ 化成行阶梯形后，非零行彼此独立，其数量等于主元数；主元列也彼此独立，并生成全部列空间。行空间维数和列空间维数因此都等于同一个主元数。

对矩阵

第二行是第一行的两倍，三列也都是 $(1,2{)}^{\mathsf{T}}$ 的倍数，所以 $\mathrm{rank}A=1$。它的秩分解可直接写成

这个例子有六个非零元素，却只有一个独立输出方向。零矩阵的秩为 $0$；任何非零矩阵至少有一个非零列，秩至少为 $1$。

秩也精确表达线性方程的可解性。$Ax=b$ 有解当且仅当 $b$ 属于列空间，等价于

有解后是否唯一由核决定；对于 $n\times n$ 方阵，满秩、核为零、可逆和每个右端项都有唯一解彼此等价。秩–零化度定理公理库秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。负责把“保留下来的方向”和“被压掉的方向”精确相加为 $\dim V$。

精确秩对微小扰动不连续。矩阵 $\mathrm{diag}(1,\epsilon )$ 对每个非零 $\epsilon$ 都有秩 $2$，但当 $\epsilon \to 0$ 时趋近秩 $1$ 的矩阵。在带噪数据中，可以用SVD公理库奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。计算奇异值，再把超过阈值的个数作为数值秩。阈值由噪声尺度、矩阵范数和应用容差决定，表示哪些方向的影响值得保留。

对具有精确域运算的有限矩阵，行化简公理库行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。返回 RREF，数其中的主元即可计算精确秩，秩分解则把低秩结构显式拆为“坐标提取”和“嵌入像空间”两步。数据压缩借此用较少坐标表示数据；带噪数据的低秩近似则寻找一个接近原数据的低秩矩阵。在线性代数之外，微分映射的秩描述局部自由方向，Jacobian 降秩常用来刻画奇异点。

对一串线性映射，还需检查所有长复合的秩。A型箭图区间分解公理库A 型箭图的区间分解Interval decomposition of type A quiver representations构造有限等向链的区间直和分解，用完整复合秩反演唯一重数，并给出三顶点表示的实际基证书。证明这些秩能恢复全部区间重数，而仅有相邻映射的秩不够；三顶点例子实际构造兼容基以验算分解。

秩还能用来证明通信下界。对非零布尔函数的通信矩阵公理库通信矩阵与组合矩形Communication matrix · Combinatorial rectangle将两方函数排成输入行列矩阵，并以行集和列集的笛卡尔积刻画协议能够共同隔离的区域。，每个输出为 $1$ 的非空协议叶矩形对应一个秩为 $1$ 的指示矩阵。若确定性协议最多交换 $c$ 个 bit，就至多有 $2^c$ 个叶子；把这些矩阵相加并应用秩的次可加性，得到 $\mathrm{rank}M\le 2^c$，即对数秩通信下界公理库通信复杂度的秩下界Rank lower bound for communication complexity · Communication matrix rank bound将协议的单色叶写成秩一矩阵之和，由通信矩阵的线性代数秩推出确定性 bit 下界。。在查询模型公理库查询复杂度模型Query complexity model · Bit-query model将输入隐藏在坐标 oracle 后，只统计算法为确定函数值而读取的输入位置数量。和局部测试公理库局部可测试码Locally testable code · LTC通过少量码字符号查询区分合法码字与到整个码至少相距 ε 的接收词，并量化局部拒绝概率。中，资源计量转为读取多少坐标，需要针对读取过程建立下界。