秩–零化度定理

线性映射会把定义域中的某些方向彻底压扁。沿核移动时，输出毫无变化；把这部分差异忽略以后，每一个剩余方向都在像中留下一个独立方向。定理说这两部分既没有漏记，也没有重复记：被压掉的自由度加上仍可观察的自由度，正好还原定义域的全部自由度。

基延拓把这幅图变成坐标：每个输入都唯一拆成核向量与 $u_1,\dots ,u_r$ 的线性组合。输出丢掉前一部分，保留后一部分的全部 $r$ 个系数。选取不同的补向量会改变这套坐标，但保留下来的系数个数始终等于秩。

陪域 $W$ 只提供输出可以落在哪里，并不强迫映射使用其中所有方向。因而公式右侧出现的是 $\dim \mathrm{im}T$，不是 $\dim W$；一个很大的陪域可以只接收到一条直线，一个较小的陪域则会限制秩的最大值，却不会改变定义域的自由度总账。

令 $P_3$ 表示次数不超过 $3$ 的实多项式空间，并考虑微分映射

核由常数多项式组成，所以 $\ker D=\mathrm{span}\{1\}$，零化度为 $1$。基 $1,x,x^2,x^3$ 经映射得到 $0,1,2x,3x^2$；后三项生成且线性无关，因此像是整个 $P_2$，秩为 $3$。于是

微分把 $x^2,x^3$ 的系数分别乘以 $2,3$，但这两个非零缩放保留了独立方向。把 $x,x^2,x^3$ 换成任何能与 $1$ 合成 $P_3$ 基的三项，所得三个像仍会构成 $P_2$ 的基。

对线性方程 $Ax=b$，若有一个特解 $x_0$，全部解恰为仿射空间

因此一个 $m\times n$ 矩阵秩为 $r$ 时，$b\in \mathrm{im}A$ 对应的解集有 $n-r$ 个自由方向；$b\notin \mathrm{im}A$ 时解集为空。若 $m=n$，则核为零、秩为 $n$、单射和满射彼此等价；若 $n>m$，由 $\mathrm{rank}A\le m<n$ 立即得到非零核，所以映射不可能单射。

无限维向量空间仍可在选择公理下用基延拓得到基数等式

无限基数的加法没有相应的减法。例如在 $\mathbb{R}[x]$ 上，恒等映射与微分映射都是满射，定义域和像的维数都是 ${\mathrm{\aleph }}_0$，前者的核为零，后者的核却是一维的常数空间。它们分别满足 ${\mathrm{\aleph }}_0=0+{\mathrm{\aleph }}_0$ 与 ${\mathrm{\aleph }}_0=1+{\mathrm{\aleph }}_0$，所以定义域和像的维数在这里无法单独确定核的维数。

把核的包含映射与到像的满射写在一起，可得短正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。

秩–零化度就是“有限维在短正合列上可加”的基本实例。若一个以零空间起止的有限长正合列由有限维向量空间组成，对每个映射应用这一公式，像的维数在交替和中逐项抵消，便得到整列维数的交替和为零。

在图论中，给无向图的每条边任选一个方向，关联矩阵便把边上的流量映为各顶点的净流入量。它的核公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。由净流入为零的环流组成；秩–零化度把边流量的总自由度拆为环流自由度与可观测净流入的自由度。

实或复矩阵的完整SVD公理库奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。进一步为行空间、零空间、列空间和左零空间选择正交规范基。若 $A$ 有 $n$ 列、秩为 $r$，右奇异向量中的 $r$ 个对应非零奇异值，其余 $n-r$ 个生成核，从而把定理中的分拆写成正交坐标。