商向量空间

商空间把沿 $W$ 的所有移动视为不可观察的变化。一个商向量代表一整张与 $W$ 平行的仿射层；层内各点不同，但商空间只记录它们共同的横向位置。

$W$ 中全部向量合并为商空间的零向量，其他陪集也各自成为一点。这个构造直接由线性关系决定；若另外选定补空间，还能为每个商向量选出具体代表，下面的例子展示了这种选择。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中取 $W=\mathrm{span}(1,0)$，则 $(x,y)+W$ 是高度为 $y$ 的水平线。映射 $\varphi ((x,y)+W)=y$ 良定义且线性双射，因此 ${\mathbb{R}}^2/W\cong \mathbb{R}$。例如 $(2,3)$ 与 $(-5,3)$ 同类，而它们与 $(2,4)$ 不同类。在 ${\mathbb{R}}^3$ 中商去 $\mathrm{span}(e_1,e_2)$，同理只保留第三坐标。

补空间给出代表元的选择。上述二维例子可选纵轴，也可选直线 $U=\mathrm{span}(1,1)$：同一高度为 $y$ 的商类，分别选出 $(0,y)$ 或 $(y,y)$。一般若 $V=W\oplus U$，投影限制 $\pi {|}_U:U\to V/W$ 是同构；选定 $U$ 后同构自然确定，但商空间本身并未指定这个 $U$。

子空间的标量封闭性保证数乘与代表元无关。若在 $V=\mathbb{R}$ 中改取加法子群 $W=\mathbb{Z}$，差属于 $W$ 仍定义等价关系，加法也良定义，但数乘会出现冲突：$0+\mathbb{Z}=1+\mathbb{Z}$，乘以 $1/2$ 后得到两个不同陪集。因此 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 继承了加法群结构，却没有继承实数数乘。

商空间的因子分解性质说明哪些映射能忽略 $W$。若线性映射 $T:V\to U$ 满足 $W\subseteq \ker T$，则

良定义，且 $T=\tilde{T}\circ \pi$。因为每个商类都有代表元，这样的 $\tilde{T}$ 必唯一；反之，能如此分解就必在 $W$ 上为零。

取 $W=\ker T$，诱导映射 $V/\ker T\to \mathrm{im}T$ 既单又满，得到第一同构定理。有限维时，由秩–零化度定理公理库秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。作用于 $\pi$ 得

商去定义域中不可分辨的方向得到像；从陪域商去像则得到余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。，刻画未被映射覆盖的方向。更一般的“循环模去边界”产生同调空间，而外代数公理库外代数Exterior algebra把张量代数按 v⊗v=0 的关系取商所得的分次代数。通过商去指定张量关系实现交替性。