迹

矩阵的第 $i$ 列记录第 $i$ 个基向量经变换后的坐标，其中 $a_{ii}$ 是它沿原来第 $i$ 个方向的分量。单个对角条目会随基改变，但把所有这些分量相加，恰好得到一个不随基改变的量。

迹适合做快速的不变量检验：两个矩阵若迹不同，就一定不相似。迹相同的矩阵则可能有不同结构，下面的单位矩阵与奇异矩阵就是一例。

循环不变性从哪里来 ​

把矩阵乘法的对角条目展开：

中间一步用到了有限求和可以换序以及标量乘法交换。若 $S$ 可逆，令两因子为 $S^{-1}A$ 与 $S$，便有 $\mathrm{tr}(S^{-1}AS)=\mathrm{tr}A$，这正是算子迹与基无关的理由。

例如 $A=(12)$、$B=(34{)}^{\mathsf{T}}$，则 $AB=(11)$，而 $BA=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 4& 8\end{array}\right)$；两者形状不同，迹却都是 $11$。

循环移动与交换相邻因子的区别 ​

取 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$，则

因此交换子 $AB-BA$ 的迹为零，尽管它并非零矩阵。再取 $C=\mathrm{diag}(1,0)$，有 $\mathrm{tr}(ABC)=1$，而 $BC=B$、$CB=0$，所以 $\mathrm{tr}(ACB)=0$。正确规则是 $ABC\to BCA\to CAB$ 的循环移动。

交换子的迹恒为零，也保证迹零矩阵空间对 $[A,B]=AB-BA$ 封闭；这给出Lie 代数 $\mathfrak{sl}_n$公理库Lie 代数李代数 · Lie algebra配备双线性交替括号并满足 Jacobi 恒等式的向量空间，以矩阵交换子和 sl₂ 的伴随作用为具体模型。，其中 ${\mathfrak{sl}}_2$ 的三个基元素及完整括号表可以直接由上面的矩阵乘积算出。

$I_2$ 与 $\mathrm{diag}(2,0)$ 都有迹 $2$，但后者不可逆、前者可逆，故不相似。

无限维中的对角求和涉及收敛。例如 ${\ell }^2$ 上恒等算子在标准正交基下的对角项全为 $1$，其和发散；迹类算子则提供了对角和绝对收敛且与正交基无关的情形。

当 $n\ge 1$ 时，采用 ${\chi }_A(t)=\det (tI-A)$ 的约定，特征多项式公理库特征多项式Characteristic polynomial由 det(λI−T) 定义并编码线性算子特征值的多项式。中 $t^{n-1}$ 的系数是 $-\mathrm{tr}A$。在特征多项式分裂的域中比较根与系数，可得迹等于特征值按代数重数之和；这不要求矩阵可对角化。

换基公理库换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。保持迹，因此有限维表示可用每个群元素对应算子的迹定义特征标公理库有限群表示的特征标Character of a finite-group representation · Representation character · 群表示的特征标有限维复表示的特征标把每个群元素映到其作用算子的迹，并以类函数的形式记录不可约分解信息。。对有限群的有限维复表示，单个矩阵的迹虽然不足以分类，全部群元素上的迹函数却能借助正交关系恢复不可约成分及其重数。在实矩阵空间中，$\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}B)=\sum _{ij}{a}_{ij}{b}_{ij}$ 给出逐条目内积；在概率中，协方差矩阵的对角项是各坐标方差，其迹便是这些方差的总和。