Holevo 界与可访问信息

制备标签是发送者手里的记录，量子状态是接收者真正得到的对象。若两个标签制备了相同状态，接收者不可能靠测量区分它们。若状态不同但不正交，测量结果也通常不能无误指出制备标签。状态向量中连续变化的振幅，并不是一份可直接逐项读出的经典清单。

一次测量得到多少随机性，与它告诉了多少标签信息，是两个问题。即使每次都发送同一状态，测量仍可能产生公平随机结果；这些结果的熵可以是一个 bit，关于固定标签的互信息却是零。Holevo 界约束的是标签与结果的联系，所以左侧是 $I(X;Y)$，不是 $H(Y)$。

熵差 $\chi$ 的两个部分也有明确分工。$S(\overline{\rho })$ 描述遗忘标签后看到的平均态，$\sum _x{p}_{x}S({\rho }_x)$ 扣除每个已知标签内部已有的混合。差值给出了可读标签信息的上界。要知道某个装置实际读出了多少，仍须算出它的联合分布。

公平标签，非正交状态 ​

取 $p_0=p_1=1/2$，状态为 $|0⟩$ 与 $|+⟩=(|0⟩+|1⟩)/\sqrt{2}$。平均态是

其迹为 $1$、行列式为 $1/8$，故特征值为 $t=(2+\sqrt{2})/4$ 与 $1-t$。两分量都是纯态，熵为零，因此令 $h_2(u)=-u{\log }_{2}u-(1-u){\log }_2(1-u)$，有

标签熵为一个 bit，但这不意味着平均态或某个测量能保留全部标签信息。

先测计算基 ​

用 $E_0=|0⟩⟨0|$、$E_1=|1⟩⟨1|$ 测量，记结果为 $Z$。零态总给出 $0$，加态以相同概率给出两种结果。以标签为行、结果为列，得到

把联合矩阵按列相加，输出边缘为 $(3/4,1/4)$。条件输出熵是 $\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 1=1/2$，所以

输出熵 $H(Z)\approx 0.811278124$ 比 $\chi$ 大，互信息却在界内。这个例子直接说明，不能把测量结果的随机性全部计为传来的信息。

换一个正交基 ​

现在取

两向量归一且正交，投影 $|v_j⟩⟨v_j|$ 因而构成合法测量。零态给出结果 $0$ 的概率为 ${\cos }^2(\pi /8)=t$；加态给出结果 $0$ 的概率为 $(\cos \left(\pi /8\right)-\sin \left(\pi /8\right){)}^2/2=1-t$。记结果为 $V$，便有

这次输出公平，两个标签下的条件熵都为 $h_2(t)$，故

换测量确实提高了信息量。由这个可执行选择和 Holevo 上界，我们得到

这份测量也出现在迹距离的二元最小错误判别公理库迹距离Trace distance · Quantum trace distance迹距离是两个密度算子之差的迹范数的一半，恰好刻画单份量子态在最优测量下的可区分程度。中，但两个优化目标不同：最小错误要求猜标签尽量正确，可访问信息要求互信息尽量大。上述计算证明了这份测量读出的信息量，尚未求解对全部 POVM 的互信息优化；两种已算测量均未达到 $\chi$，也不能单凭这一点断定所有测量都达不到它。

两个能精确取值的端点 ​

若全部正权重状态相同，则 $\overline{\rho }={\rho }_x$、$\chi =0$。任意测量下 $W(y\mid x)$ 都不随 $x$ 改变，标签与结果独立，所以 $I_{\mathrm{acc}}=0$。

若正权重状态的支撑两两正交，就按这些支撑投影；在其正交补上补一个投影，使所有效应之和为 $I$。补出的结果概率为零，其余结果无误识别标签。平均态按正交块分解，若 ${\rho }_x$ 的特征值是 ${\lambda }_{xj}$，平均态的非零特征值就是 $p_x{\lambda }_{xj}$，直接展开得

因此 $I(X;Y)=I_{\mathrm{acc}}=\chi =H(p)$。这同时给出可达测量和匹配上界，而不只是一句“正交态可以区分”。

从每个状态相对平均态的差异推出测量界 ​

先删除零先验标签。对任何 $v\in \ker \overline{\rho }$，

每项非负，故 $\mathrm{supp}{\rho }_x\subseteq \mathrm{supp}\overline{\rho }$。于是量子相对熵公理库量子相对熵Quantum relative entropy · Umegaki relative entropy量子相对熵通过谱对数比较两个密度算子；完整特征基展开把其非负性和取等条件化为标量 Gibbs 不等式，并导出最大混态熵差与系综恒等式。 $D({\rho }_x\Vert \overline{\rho })$ 都有限。类似地，若 $q_y=0$，非负求和 $q_y=\sum _x{p}_{x}W(y\mid x)$ 迫使整列 $W(y\mid x)$ 为零，互信息计算中没有正概率除以零的项。

将经典互信息的定义逐项展开，有

测量对应同一个量子到经典信道公理库量子信道Quantum channel · CPTP map · Completely positive trace-preserving map量子信道是完全正且保持迹的线性映射，描述包含噪声、测量结果遗忘和子系统丢弃的确定性量子状态变换。

可以直接核验它满足 CPTP 条件。选输入空间的正交基 $\{|k⟩\}$，取Kraus 算子公理库Kraus 表示Kraus representation · Operator-sum representation · 算子和表示有限维线性映射完全正当且仅当它能写成 Kraus 算子和，保持迹则等价于这些算子的完备性恒等式。 $K_{yk}=|y⟩⟨k|\sqrt{E_y}$，则

输出在记录基上对角，因此其量子相对熵就是概率列的经典相对熵。对每个标签应用共同信道下的数据处理定理，得到

乘以 $p_x$ 后求和，再使用量子相对熵页已证明的系综恒等式：

右侧与测量选择无关，对所有 POVM 取上确界便完成 Holevo 界的证明。关键步骤是两态经过同一个保持迹信道；选中一个测量结果后归一化的条件更新不属于这个线性 CPTP 接口。

维数界如何用于量子通信 ​

状态熵非负且不超过 ${\log }_{2}d$，所以

若接收者仅测量收到的 $q$ 个 qubit，$d=2^q$，读出的经典互信息至多 $q$ bit。这是固定一次制备与测量的界；它既没有证明某个噪声信道的编码容量，也没有保证任意系综的 $\chi$ 都能被这一次测量达到。

使用预共享纠缠通信公理库量子通信复杂度Quantum communication complexity允许双方交换量子寄存器并选择是否预共享纠缠，以 qubit 数、经典 bit 数和错误概率共同衡量协议。时，应把接收者已有的辅助寄存器包括在状态中。超密编码发送一个 qubit 后，Bob 实际对两个 qubit 上的四个正交 Bell 态做联合测量，完整接收系统维数为 $4$，界允许读出两个 bit。若只把新到的一个 qubit 代入维数，就漏掉了原有资源。相反，另添一个与标签和输入态均独立的固定辅助态 $\tau$，各项熵都加上 $S(\tau )$，会在 $\chi$ 的差中抵消。

终点自测：重新写出两份联合概率矩阵，分别算输出边缘和条件熵，再用测量信道推导上界。若改为公平制备 $|0⟩,|1⟩$，计算基给出 $I=\chi =1$；若两标签都制备 $|+⟩$，无论测量结果多随机，互信息都为零。