Lie 代数

两个线性操作的先后次序可能改变结果。对同一向量空间上的算子 $A,B$，复合 $AB$ 表示先作 $B$、再作 $A$；差 $AB-BA$ 便把这种次序差异记录成另一个线性算子。Lie 代数抽取的正是这类“比较次序”的运算：保留向量的线性组合和括号，不要求每两个元素另有一个结合乘积。

交替性说同一个操作与自身没有次序差异。Jacobi 恒等式则约束三种操作之间的差异如何相容。把反对称性代入 Jacobi，可改写为

因此，固定 $x$ 后的运算 $y\mapsto [x,y]$ 对括号满足一种乘积法则：作用到 $[y,z]$ 上，等于分别作用到两个输入后相加。这个形式会直接导出后面的伴随作用恒等式。

零括号也是有用的基准。任意向量空间取 $[x,y]=0$ 都成为 Lie 代数，称为交换或阿贝尔 Lie 代数；非零括号则描述哪些方向之间存在相互作用。矩阵给出有限维的计算模型，向量场与 Lie 括号公理库向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。给出几何模型：那里比较的是对光滑函数连续求导的两种次序，标量取实常数。

从算子复合构造 $\mathfrak{gl}(V)$ ​

设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的向量空间，${\mathrm{End}}_{\mathbb{K}}(V)$ 是所有 $V\to V$ 的线性映射。定义

复合对加法与数乘分配，故括号双线性；$[A,A]=AA-AA=0$ 给出交替性。Jacobi 恒等式可逐项验证：

三行相加时，六种有序乘积各出现一次正号、一次负号，全部抵消。这里能把三重复合写成没有括号的 $ABC$，依据的是算子复合的结合律。

这个 Lie 代数记为 $\mathfrak{gl}(V)$；构造不要求 $V$ 有限维。当 $V$ 有一组含 $n$ 个向量的基时，用矩阵公理库矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。表示算子，得到全部 $n\times n$ 矩阵组成的 ${\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{K})$。换基改变矩阵条目，但保留交换子的运算关系。

完整算出 ${\mathfrak{sl}}_2$ 的括号 ​

现在取 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，考虑迹为零的矩阵空间

它是线性子空间。由迹公理库迹Trace of a matrix · Matrix trace方阵主对角元素之和，也是线性算子在换基下不变的标量。的循环不变性，

所以它对括号封闭，从而是 ${\mathfrak{gl}}_2(\mathbb{K})$ 的 Lie 子代数。

选取有序基 $(E,F,H)$：

任意元素唯一写成 $aH+bE+cF$。先计算普通矩阵乘积：

相减得到 $[E,F]=H$、$[H,E]=2E$、$[H,F]=-2F$。结合交替性和反对称性，完整括号表如下；行是第一个输入，列是第二个输入。

双线性使这张表足以计算任意括号。若 $X=aH+bE+cF$、$Y=pH+qE+rF$，则

例如 $[H+E,F]=[H,F]+[E,F]=H-2F$；矩阵结果为 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& -1\end{array}\right)$，仍然迹为零。

两种封闭性与结合律 ​

${\mathfrak{sl}}_2$ 对交换子封闭，却不对普通矩阵乘法封闭：$E,F$ 的迹均为零，而 $\mathrm{tr}(EF)=1$。因此，确认一个矩阵空间是 Lie 子代数时，要检验的是 $AB-BA$ 是否留下来。

一维子空间 $\mathbb{K}H$ 是 Lie 子代数，因为任意 $aH,bH$ 的括号为零。但它不是 ${\mathfrak{sl}}_2$ 的 Lie 理想：$[E,H]=-2E\notin \mathbb{K}H$。内部取括号封闭，无法保证与外部元素取括号后也封闭。

底层结合代数公理库域上的结合代数Associative algebra over a field · Unital associative algebra从双线性乘法和结构常数定义含幺代数，用上三角乘法表构造并核验一个三维表示。的乘法结合律保证了交换子的 Jacobi 恒等式，Lie 括号自身却不满足结合律。例如

所以嵌套括号的位置确实影响结果；Jacobi 提供的是三项之间的关系，不能用来任意移动括号。

伴随作用把括号变回线性算子 ​

每个 $X\in \mathfrak{g}$ 都定义一个线性算子

Jacobi 的乘积法则形式给出，对任意 $Z$，

因此

左边是 ${\mathrm{End}}_{\mathbb{K}}(\mathfrak{g})$ 中的算子交换子，右边先在 $\mathfrak{g}$ 中取括号，再形成算子。映射 $X\mapsto {\mathrm{ad}}_X$ 既线性又保持括号，称为伴随表示；这里可以完全通过已有的括号表理解它。

Lie 代数表示公理库Lie 代数表示李代数表示 · Lie algebra representation将 Lie 括号实现为线性算子的交换子，并在齐次多项式空间上构造 sl₂ 的对称幂表示，用谱投影与升降算子证明其不可约性。把这一保持括号的条件推广到任意向量空间上的作用，并在各次齐次多项式空间上构造 ${\mathfrak{sl}}_2$ 表示，通过谱投影与升降算子证明其不可约性。

三个伴随矩阵与一次交换子核对 ​

在 ${\mathfrak{sl}}_2$ 的有序基 $(E,F,H)$ 下，使用列坐标约定：第 $j$ 列是第 $j$ 个基向量的像。记三个矩阵分别为 $A_E,A_F,A_H$，由表逐列读出

例如 $A_E$ 的第二列是 $(0,0,1{)}^{\mathsf{T}}$，因为 $[E,F]=H$；第三列是 $(-2,0,0{)}^{\mathsf{T}}$，因为 $[E,H]=-2E$。同时，${\mathrm{ad}}_H$ 的三个特征向量就是 $E,F,H$，对应特征值 $2,-2,0$：取一次与 $H$ 的括号，会放大 $E$ 方向、反向放大 $F$ 方向，并消去 $H$ 方向。

直接相乘可以核对伴随作用的恒等式，而无需再援引抽象证明：

两者相减恰好得到 $A_H$，与 $[E,F]=H$ 相符。这就把原先三个 $2\times 2$ 矩阵之间的括号，转换成作用在三维空间上的三个 $3\times 3$ 矩阵之间的交换子。

在这个例子中，伴随作用还保留了全部元素信息。若 $X=aH+bE+cF$ 满足 ${\mathrm{ad}}_X=0$，则

由于 $E,F,H$ 线性无关，且实数或复数中的 $2$ 非零，先得 $b=c=0$，再得 $a=0$。一般 Lie 代数未必如此：能与所有元素取零括号的元素都会被伴随作用送到零算子；零括号的 Lie 代数就是最直接的例子。

抽象括号也能从连续对称中产生。Lie 群公理库Lie 群Lie group · 李群群的乘法与求逆同时光滑；通过圆群、一般线性群与旋转群检验连续对称的流形结构。同时具有群与光滑流形结构；Lie 群的 Lie 代数公理库Lie 群的 Lie 代数Lie algebra of a Lie group用左平移把单位元切向量延拓为向量场，由向量场括号导出矩阵交换子和旋转的无穷小结构。先取单位元切空间，再用左不变向量场导出括号，解释矩阵交换子的几何来源。

本页的 ad 是 Lie 代数上的线性作用，群的伴随表示 Ad公理库Lie 群的伴随表示Adjoint representation of a Lie group把群共轭在单位元处微分成 Ad，并以 SU(2) 的实际矩阵计算解释 Ad(exp X)=exp(ad X) 与中心的关系。则来自群共轭的微分，两者满足 $\mathrm{Ad}(\exp X)=\exp \left(\mathrm{ad}X\right)$。微分仍会遗失整体拓扑：Lie 群的覆盖与整体形式公理库Lie 群的覆盖与整体形式Covering Lie group连通 Lie 群的万有覆盖通过离散中心商产生不同整体形式，显式核验 SU(2) 到 SO(3) 的二重覆盖。用 $\mathrm{SU}(2)$ 到 $\mathrm{SO}(3)$ 的二重覆盖说明，同一 Lie 代数可以对应不同群。