循环子空间与伴随矩阵

形式陈述

设 $T:V\to V$ 是域 $F$ 上有限维空间的线性算子， $v\ne0$ 。包含 $v$ 的最小不变子空间是

Z_T(v)=\operatorname{span}_F\{v,Tv,T^2v,\ldots\}.

在多项式环 $F[x]$ 中，使 $p(T)v=0$ 的多项式构成非零理想；其首一生成元记为 $m_{T,v}$ 。若

m_{T,v}(x)=x^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots+a_0,

则 $(v,Tv,\ldots,T^{d-1}v)$ 是 $Z_T(v)$ 的一组基。在这组有序基下， $T$ 的限制矩阵为

C(m_{T,v})= \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_0\\ 1&0&\cdots&0&-a_1\\ 0&1&\cdots&0&-a_2\\ \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_{d-1} \end{pmatrix}.

这叫多项式的伴随矩阵，英文是 companion matrix。这里采用列向量约定，一位移在次对角线上；它不是由余子式组成的 adjugate matrix。 $d=1$ 时矩阵就是 $(-a_0)$ 。

若 $Z_T(v)=V$ ，称 $v$ 为循环向量。算子有循环向量，当且仅当它在某组基下是一个伴随矩阵。后一个方向由 $e_1,C e_1,\ldots,C^{d-1}e_1=e_d$ 立即得到。

令 $F[x]$ 在 $V$ 上按 $p\cdot w=p(T)w$ 作用。映射 $p\mapsto p(T)v$ 的像为 $Z_T(v)$ ，核恰为 $(m_{T,v})$ ，因此它诱导商模同构

F[x]/(m_{T,v})\longrightarrow Z_T(v),\qquad [p]\longmapsto p(T)v.

良定义来自相差 $m_{T,v}$ 的倍数会作用为零；单射来自核的定义，满射来自张成。带余除法把每个余类唯一写成次数小于 $d$ 的多项式，所以 $1,x,\ldots,x^{d-1}$ 对应的幂轨道既张成又无关。最后一列则由 $T^dv=-\sum_{j=0}^{d-1}a_jT^jv$ 决定。

伴随矩阵的极小多项式与特征多项式都等于原首一多项式 $m$ 。一方面 $m(C)=0$ ，而低于 $d$ 次的多项式不能消去循环向量 $e_1$ ，故算子极小多项式是 $m$ 。另一方面，Cayley–Hamilton 定理给出 $m\mid\chi_C$ ，两者首一且同为 $d$ 次，所以相等。

直觉

伴随坐标记录“下一步”。前 $d-1$ 个基向量都被送到后一项，唯一需要写下的新信息是最后一项怎样折回已有基。所有多项式系数因此集中到末列。

这里没有求出多项式的根，也不要求它在 $F$ 上分裂。余类坐标与幂轨道的对应，提供的是精确代数表示；用于浮点迭代的Krylov 子空间采用同一串幂的张成，却通常改用正交基以避免数值相关。

例子与边界

取

A=\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix},\qquad v=e_1.

有 $Av=(1,1)^T$ 、 $A^2v=(-1,0)^T=-v$ 。两列 $v,Av$ 线性无关，因而 $m_{A,v}=x^2+1$ 。令

P=[v,Av]=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

直接计算 $AP=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}=PC$ ，且 $\det P=1$ 。这两项就是完整换基证书： $P^{-1}AP=C$ 。在实数域上没有特征向量基，伴随基仍然存在。

对 $A=\operatorname{diag}(1,1,2)$ ，任意向量的幂轨道都满足 $(A-I)(A-2I)=0$ ，所以最多二维，不能生成三维空间。取 $v=(1,0,1)^T$ 时确实生成一个二维不变平面；把它误当作全空间基，会漏掉第二坐标方向。

也不能对每个不变子空间随意选一个不变补，再递归拼块。剪切矩阵 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 的特征直线没有不变补。全局循环分解的存在性需要额外论证，由有理标准形中的模结构定理提供。

推论与应用

给出 $P=[v,Av,\ldots,A^{d-1}v]$ 和关系 $m(A)v=0$ 后，验证者只需检查列秩为 $d$ 以及 $AP=PC(m)$ 。若 $d<n$ ，这个矩形恒等式认证的是限制算子，不能写成不存在的方阵逆 $P^{-1}$ 。

幂递推还允许计算 $T^kv$ ：先把 $x^k$ 模 $m_{T,v}$ 取余，再用前 $d$ 个轨道向量重建。换一个起始向量可能得到更短多项式，因此“这个向量已经停止增维”不等于“已找全算子的全部结构”。

参考资料

Alireza Salehi Golsefidy，Algebra: ring and field theory，§40.3、Lemma 40.3.1：商模的幂基、伴随矩阵及极小多项式。
Matthew Kerr，Linear Algebra, VI.C，循环子空间、伴随块与换基构造。