PID 上有限生成模结构定理

形式陈述 ​

设 $R$ 是主理想整环理路主理想整环Principal ideal domain · PID每个理想都由单个元素生成的整环。，$M$ 是有限生成 $R$-模理路模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。。存在唯一的非负整数 $r$ 及满足

的非单位元，使

这里每个 $d_i$ 唯一到相伴，$r$ 是自由秩。唯一的是同构类型中的参数，不是 $M$ 内部一组特定的直和理路直和Direct sum · Internal direct sum把对象组织为来自指定分量的唯一有限和；向量空间的内直和对应求和映射单射，外直和保留分量标签。子模。把各 $d_i$ 分解成素元幂，并用环上的中国剩余定理理路环上的中国剩余定理Chinese remainder theorem for rings两两互素理想的交商与对应商环直积之间存在规范同构。拆开互素部分，便得到初等因子形式 $R^r\oplus \underset{j}{⨁}R/(p_j^{e_j})$；素元幂的多重集也唯一到相伴与排列。

为什么有限生成足以给出有限呈示 ​

先独立证明：$R^m$ 的任一子模 $K$ 都是秩不超过 $m$ 的有限自由模理路自由模Free module具有基、因而每个元素可唯一写为有限线性组合的模。。对 $m$ 归纳，$m=0$ 时显然。把 $K$ 投影到第一个坐标，像是理想 $(a)$。若 $a=0$，$K$ 已包含于后 $m-1$ 个坐标中，可以直接归纳。

若 $a\ne 0$，选 $k_0\in K$，使它的第一坐标为 $a$。对每个 $k\in K$，第一坐标都可写成 $ra$，于是 $k-r{k}_0$ 的第一坐标为零。因此

直和性来自整环条件：若 $r{k}_0\in K_0$，则 $ra=0$，故 $r=0$。归纳给出 $K_0$ 的有限基，再加 $k_0$ 即为 $K$ 的基。这个证明既没有假定结构定理，也没有借 Smith 形反过来证明自身的前提。

现为 $M$ 取 $m$ 个生成元，得到满射 $R^m\to M$。其核 $K$ 按上段有有限基 $k_1,\dots ,k_s$；将这些基向量写成列，得到 $A:R^s\to R^m$。由商模理路商模Quotient module按子模诱导的陪集等价关系取商并继承模运算的结构。的泛性质，$M\cong R^m/A{R}^s$。这说明有限生成在 PID 上自动升级为有限呈示。

对 $A$ 应用Smith 正规形理路PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。。若 $UAV=D$，商同构为 $[x]\mapsto [Ux]$，而对角商逐坐标分开。非零非单位对角元留下 $R/(d_i)$，单位对角元留下零模，目标中的零对角行留下 $R$，从而得到存在性。

为什么换一套呈示仍得到同样的参数 ​

子式理想说明固定矩阵在可逆行列变换下的不变因子唯一；两个抽象同构的模，却可能使用不同数量的生成元和关系。为处理这种变化，需要从模本身恢复参数。

令 $T=\{x\in M:\text{存在 }0\ne a\in R\text{ 使 }ax=0\}$，它是规范的挠子模。令 $F$ 为 $R$ 的分式域，把模的标量扩为 $F$，也就是允许除以所有非零环元素；标准记法是张量积理路张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。 $F{\otimes }_{R}M$。挠元素在这里消失，因为 $ax=0$ 且 $a$ 现在可逆；每个自由副本 $R$ 则变成一个 $F$。所以

由 $M$ 自身决定。

对每个素元 $p$，定义 $p$-初等部分

PID 中 $(p)$ 是极大理想，故 $R/(p)$ 是域；该商被 $p$ 杀掉，因此确实是这个域上的向量空间。存在性分解及中国剩余定理说明，$T_p$ 是有限多个 $R/(p^e)$ 的直和。单个这样的因子对 $c_{p,k}$ 贡献 $1$ 当且仅当 $e\ge k$：在到达 $p^e=0$ 前，每向下乘一次 $p$ 都留出一层一维商。

所以 $c_{p,k}-c_{p,k+1}$ 恰好数出指数等于 $k$ 的因子。这恢复了每个素元的全部初等因子，而且只涉及规范子模及其商。最后把各素元的指数按非降序排列，较短的列向左补零，再逐位置将素元幂相乘，即恢复整除链 $d_1\mid \cdots \mid d_t$。若 $T=0$，该链为空。这就完成抽象模的唯一性证明。