数域的整数基

有理基是数域的坐标轴，整数基则还要精确描出“哪些坐标点是整数”。若坐标轴选得太稀，所有整数坐标点都可能是整元素，却仍漏掉一些带分母的整元素。指数记录这张子格漏了多少个整数环陪集。

本页的新工作是整数环整体的自由模结构与子阶指数。判断某个具体元素是否整，仍使用前面的首一方程判据；已经找到几个整元素，并不自动证明它们生成全部整数环。

完整整基与一个指数二的幂基 ​

取 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})$，令 $\theta =(1+\sqrt{13})/2$。因为

$\theta$ 是整元素。下面核验所有整元素都在 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\theta$ 中。

设 $\alpha =a+b\sqrt{13}$ 整，先处理 $b\ne 0$。迹与范数公理库数域范数Number field norm · Field norm over the rationals将数域元素的乘法视作有理线性算子，以行列式定义范数并用于整数环中的因子约束。的整数性给出

令 $t=2b$，则 $13t^2=m^2-4N(\alpha )\in \mathbb{Z}$。将 $t=u/v$ 约成最简分数，可得 $v^2\mid 13$，所以 $v=1$。于是 $t\in \mathbb{Z}$，且

迫使 $m,t$ 同奇偶。故

若 $b=0$，有理代数整数必为普通整数，结论相同。反过来，整元素构成环，所以 $\mathbb{Z}[\theta ]\subseteq {\mathcal{O}}_K$。两边合起来得到

在这组整基坐标中，$\sqrt{13}=2\theta -1$，所以子阶 $A=\mathbb{Z}[\sqrt{13}]$ 由列向量 $(1,0)$、$(-1,2)$ 生成。矩阵

的绝对行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。为二，故 $[{\mathcal{O}}_K:A]=2$。也可直接观察：$A$ 恰好由 $\theta$ 系数为偶数的整数环元素组成，两陪集由 $0,\theta$ 代表。

为什么一般数域也有整数基 ​

先取一组由整元素组成的有理基 $b_1,\dots ,b_n$。这是可能的，因为任意代数数乘以合适非零整数都会变整。记 $L=\sum \mathbb{Z}{b}_i\subseteq {\mathcal{O}}_K$。

考虑 迹配对公理库数域迹与迹配对Number field trace · Trace pairing乘法算子的迹等于全部嵌入像之和；计算 Q(√13) 的迹配对矩阵，并解释非退化、整性与迹零的区别。矩阵 $G=(\mathrm{Tr}(b_i{b}_j))$。它的条目是整数，行列式 $D\ne 0$。若 $\alpha =\sum c_i{b}_i\in {\mathcal{O}}_K$，则每个 $\mathrm{Tr}(\alpha b_j)$ 为整数，故 $G\mathbf{c}\in {\mathbb{Z}}^n$。用伴随矩阵求逆，得到 $c_i\in D^{-1}\mathbb{Z}$。因此

右边是秩为 $n$ 的自由整数模，由PID 上有限秩自由模的子模定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。，其子模仍是有限生成自由模公理库自由模Free module具有基、因而每个元素可唯一写为有限线性组合的模。；左边已经提供 $n$ 个有理线性无关元素，所以秩恰为 $n$。这个夹逼证明同时给出有限生成与无挠自由性，而不只是给二次域一个巧合公式。

换一组整数基使用的是 $G{L}_n(\mathbb{Z})$ 中的矩阵，行列式为 $\pm 1$。一般有理换基不保留整数环格；换到某个子阶的幂基时，行列式绝对值可能大于一。判别式的指数平方公式公理库数域判别式Number field discriminant整基迹配对的行列式定义数域判别式，推导换基平方律并用 Q(√13) 区分域判别式、幂基判别式和分歧。会把这个差别转成素数分解算法中的重要条件。