数域判别式

迹配对把两条整数坐标方向相互比较，行列式检测整格在这个配对下的整体非退化程度。换基矩阵在两个输入上各作用一次，因此行列式出现平方，而不是一次幂。

判别式也记录素数处的退化：把迹矩阵模 $p$ 后，如果不再可逆，整数环在这个素数处便不再像若干互不混合的有限域。这个桥梁把一个全局整数与局部分歧联系起来。

$\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ 的两个判别式 ​

用整数基 $(1,\theta )$，其中 $\theta =(1+\sqrt{13})/2$、${\theta }^2=\theta +3$。已经算得

所以

若误用 $(1,\sqrt{13})$ 当整基，得到矩阵 $\mathrm{diag}(2,26)$，行列式为 $52$。它并非计算错误，而是算了较小阶 $\mathbb{Z}[\sqrt{13}]$ 的判别式。该阶指数为二，所以

正好核验指数平方律。

对应多项式 $X^2-X-3$ 的判别式为 $1+12=13$，而 $X^2-13$ 的判别式为 $52$。不同原始元可给不同多项式判别式，数域本身的 $D_K$ 却固定。

判别式不总为正 ​

在 $\mathbb{Q}(i)$ 的整基 $(1,i)$ 下，迹矩阵为 $\mathrm{diag}(2,-2)$，所以域判别式为 $-4$。一般有 $r_2$ 对非实嵌入时，$D_K$ 的符号为 $(-1{)}^{r_2}$。因此把判别式直接称为“体积”不准确；在标准实—复 Minkowski 嵌入中，整数格的余体积是

平方根、绝对值和复坐标的因子都不能省略。

判别式怎样检测分歧 ​

对有理素数 $p$，有

左边精确定义见分歧指数与剩余次数公理库分歧指数与剩余次数Ramification index · Residue degree素数分解中的指数 e 与剩余域次数 f 记录不同信息，通过 Q(√13) 的惰性、分裂、分歧三例核验求和公式。：在 $p{\mathcal{O}}_K$ 的素理想分解中至少一个指数大于一。

证明机制是考察有限维 ${\mathbb{F}}_p$-代数 ${\mathcal{O}}_K/p{\mathcal{O}}_K$。未分歧时它是若干有限域的直积，有限域扩张可分，迹配对非退化；出现分歧时，某个素理想幂带来非零幂零元，使这个配对退化。整基迹矩阵模 $p$ 恰是该有限代数的迹矩阵，因此退化当且仅当行列式 $D_K$ 被 $p$ 整除。

本例中只有 $13$ 分歧，$2$ 不分歧。但多项式 $X^2-13$ 模 $2$ 变为 $(X-1{)}^2$。这个重因子来自选用指数为二的子阶，不能说明域里的 $2$ 分歧。Dedekind 分解判据公理库Dedekind 素理想分解判据Dedekind factorization theorem在素数不整除幂基指数时，由模 p 多项式的重数与次数读取素理想分解；完整展示坏指数素数的误判与修正。必须先排除素数整除该指数，才允许从模素数因式分解直接读取分歧。

判别式还给寻找整基一个有限检验：若某整元素基的判别式无平方因子，它的子格指数平方只能为一，因此已经是整基。反向不成立，完整数域判别式也可能含平方因子；不能把“有平方因子”直接当作漏掉整元素的证据。