理想类群 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $A$ 是Dedekind 整环，分式域为 $K$ 。非零分式理想在乘法下构成 Abel 群 $\mathcal I(A)$ ，主分式理想

\mathcal P(A)=\{aA:a\in K^\times\}

构成子群。理想类群是商群

\operatorname{Cl}(A)=\mathcal I(A)/\mathcal P(A).

因此 $[I]=[J]$ 当且仅当 $I=aJ$ 对某个 $a\in K^\times$ 成立。运算为 $[I][J]=[IJ]$ ，单位元为 $[A]$ ，逆为 $[I^{-1}]$ 。类群有限时，其阶称为类数。

数域 $K$ 的类群通常指完整整数环的 $\operatorname{Cl}(\mathcal O_K)$ 。必须指定整数环：在同一数域的一个未必整闭的子环中，理想可逆性和类群的定义需要另行处理，不能直接套用 Dedekind 结论。

本页完成的具体终点为

\operatorname{Cl}\bigl(\mathbb Z[\sqrt{-5}]\bigr) =\{[R],[\mathfrak p]\}\cong C_2, \qquad R=\mathbb Z[\sqrt{-5}],\quad \mathfrak p=(2,1+\sqrt{-5}).

旧算例已证明 $\mathfrak p^2=(2)$ 且 $\mathfrak p$ 非主，因而至少有这两个类。本页的新增工作是证明不存在第三个类：先建立理想范数，再用平面格点把每一类缩到范数不超过

\frac{4\sqrt5}{\pi} =\frac2\pi\sqrt{20}<3

的整理想。

直觉

分式理想都能相乘和求逆，但它们未必都能用一个域元素生成。类群把 $I$ 与 $aI$ 看成相同，因为它们在理想乘法群中只差主因子 $(a)$ 。在本页的复平面例子里，乘以一个非零复数就是整体旋转和伸缩。类群记录的是无法靠这种标量乘法消去的剩余结构。

一个非主理想只证明类群非平凡，不能证明类数是 $2$ 。为了找全类，需要让任意类都有一个来自有限候选表的小代表。在虚二次域中，理想可以画成复平面里的格；一个足够大的圆盘必含非零理想元素，这个元素又能反过来构造小范数的同类代表。

理想范数先回答“商到底有多大”

以下固定 $R=\mathbb Z[s]$ 、 $s=\sqrt{-5}$ 。对非零整理想 $I$ ，定义

\mathrm N(I)=|R/I|=[R:I].

这个数有限：取 $0\ne\alpha=a+bs\in I$ ，则正整数 $\alpha\overline\alpha=a^2+5b^2$ 属于 $I$ ，所以某个 $nR\subseteq I$ ， $R/I$ 是有限群 $R/nR$ 的商。

对主理想 $(\alpha)$ ，乘以 $\alpha$ 在整数基 $(1,s)$ 下的矩阵是

M_\alpha=\begin{pmatrix}a&-5b\\b&a\end{pmatrix}.

该满秩整数矩阵像的指数等于绝对行列式。因此

\mathrm N((\alpha))=|\det M_\alpha| =a^2+5b^2=N_{K/\mathbb Q}(\alpha).

这里最后一项是元素范数，前一项是理想范数；等式来自主理想的实际乘法矩阵，而非来自相同的名称。

素理想的每一层都贡献同一个剩余域

为了证明 $\mathrm N(IJ)=\mathrm N(I)\mathrm N(J)$ ，先固定非零素理想 $\mathfrak l$ 。它极大，故 $k=R/\mathfrak l$ 是有限域。由 $\mathfrak l\mathfrak l^{-1}=R$ ，可在乘积展开 $1=\sum_i a_i b_i$ 中选择一项 $ab\notin\mathfrak l$ 。其中 $a\in\mathfrak l,b\in\mathfrak l^{-1}$ ，每项 $a_i b_i$ 都在 $R$ 中。将 $b$ 乘以适当的 $R$ 元素，可使

u=ab\equiv1\pmod{\mathfrak l}.

对每个 $j\geq0$ ，映射

R/\mathfrak l\longrightarrow\mathfrak l^j/\mathfrak l^{j+1}, \qquad r+\mathfrak l\longmapsto ra^j+\mathfrak l^{j+1}

是同构。良定义显然；若 $x\in\mathfrak l^j$ ，则 $b^jx\in R$ ，且

x-a^j(b^jx)=(1-u^j)x\in\mathfrak l^{j+1},

所以满射。若 $ra^j\in\mathfrak l^{j+1}$ ，乘以 $b^j$ 得 $ru^j\in\mathfrak l$ ，而 $u^j\equiv1$ ，故 $r\in\mathfrak l$ ，证明单射。

依次计算有限商群的阶，得到

\mathrm N(\mathfrak l^e)=|k|^e=\mathrm N(\mathfrak l)^e.

不同极大理想的正整数幂两两互素：若有一个极大理想同时包含 $\mathfrak l^e$ 与 $\mathfrak m^f$ ，素性迫使它同时包含 $\mathfrak l,\mathfrak m$ ，从而两者相等。于是环上的中国剩余定理和唯一分解给出

R/I\cong\prod_{\mathfrak l}R/\mathfrak l^{v_{\mathfrak l}(I)}, \qquad \mathrm N(I)=\prod_{\mathfrak l}\mathrm N(\mathfrak l)^{v_{\mathfrak l}(I)}.

乘法使素理想指数相加，故理想范数乘法性得证。

例子与边界

用范数认证一个新的平方分解

沿用具体理想算例的记号

\mathfrak p=(2,1+s),\qquad \mathfrak q=(3,1+s),\qquad \mathfrak r=(3,1-s).

已知剩余域分别为 $\mathbb F_2,\mathbb F_3,\mathbb F_3$ ，故范数为 $2,3,3$ 。已有 $(1+s)=\mathfrak p\mathfrak q$ 的理想范数因此为 $2\cdot3=6$ ，与元素范数 $1^2+5=6$ 一致。

现在计算旧算例未展开的 $\mathfrak q^2$ 。它由 $9,3(1+s),(1+s)^2$ 生成，而

\begin{aligned} 9&=(2+s)(2-s),\\ 3(1+s)&=(-1+s)(2-s),\\ (1+s)^2&=-2(2-s). \end{aligned}

所以 $\mathfrak q^2\subseteq(2-s)$ 。左边范数为 $3^2=9$ ，右边范数为 $2^2+5=9$ 。有限指数的乘法公式

[R:\mathfrak q^2]=[R:(2-s)]\,[(2-s):\mathfrak q^2]

迫使最后一项为 $1$ ，所以

\mathfrak q^2=(2-s).

这展示了“包含加范数”如何替代寻找反向生成元组合。由复共轭同样得到 $\mathfrak r^2=(2+s)$ 。

一个非主理想不会因平方主就变成主

$\mathfrak p^2=(2)$ 意味着 $[\mathfrak p]^2=[R]$ ，却不能推出 $[\mathfrak p]=[R]$ 。旧算例已经通过不存在元素范数 $2$ 证明 $\mathfrak p$ 非主；这正是类群里一个非平凡的二阶元素。

理想集合本身也不能和理想类混淆。 $\mathfrak p$ 、 $\mathfrak q$ 、 $\mathfrak r$ 两两不同，范数甚至不同，但下文会证明三者属于同一个非平凡类。类群丢弃了主分式因子，故类相同远弱于理想相等。

推论与应用

把整理想看成复平面中的格

使用嵌入

\sigma:K\longrightarrow\mathbb C\cong\mathbb R^2, \qquad a+bs\longmapsto(a,b\sqrt5).

$\sigma(R)$ 的基为 $(1,0),(0,\sqrt5)$ ，基本平行四边形面积为 $\sqrt5$ 。任意非零整理想 $I$ 包含某个 $nR$ ，因此 $\sigma(I)$ 是其中的满秩子格，由余体积与子格指数公式

\operatorname{covol}(\sigma(I))=\sqrt5\,\mathrm N(I).

同时 $\|\sigma(\alpha)\|_2^2=N_{K/\mathbb Q}(\alpha)$ 。这一步将元素范数变成欧氏长度的平方，将理想范数变成格的相对稀疏程度。

为了与通常的判别式公式核对，定义本基的迹配对矩阵为 $(\operatorname{Tr}(e_i e_j))$ ，其中 $\operatorname{Tr}(a+bs)=2a$ 。基 $(1,s)$ 给出

\begin{pmatrix}2&0\\0&-10\end{pmatrix}, \qquad \Delta_K=-20.

所以 $\sqrt5=\sqrt{|\Delta_K|}/2$ ，与上面的直接面积计算相同。

圆盘中的非零元素给出小范数理想

固定任意类 $c\in\operatorname{Cl}(R)$ 。给 $c^{-1}$ 选择整理想代表 $I$ ：先取一个分式理想，再乘以其公共分母，类不变。

取原点中心的圆盘，其半径满足

\pi\rho^2>4\sqrt5\,\mathrm N(I).

由Minkowski 第一定理，盘内存在非零格点 $\sigma(\alpha)$ ，其中 $\alpha\in I$ 。让半径从上方趋于临界值，可取到

0<N_{K/\mathbb Q}(\alpha) \leq\frac{4\sqrt5}{\pi}\,\mathrm N(I).

这里非严格边界有依据：固定一个稍大的闭圆盘，其中只有有限个格点；若临界闭圆盘里没有非零格点，稍微放大后仍可避开这有限批点，与严格版本矛盾。

由于 $\alpha\in I$ ，有 $(\alpha)\subseteq I$ ，故

J=(\alpha)I^{-1}\subseteq R,\qquad [J]=[I]^{-1}=c.

又因为 $IJ=(\alpha)$ ，已证的整理想范数乘法性给出

\mathrm N(J) =\frac{\mathrm N((\alpha))}{\mathrm N(I)} \leq\frac{4\sqrt5}{\pi}<3.

因此每个理想类都有范数 $1$ 或 $2$ 的整理想代表。这是穷尽类群的上界步骤。

蓝点表示理想 p 在复平面中的格，绿色基本平行四边形面积为2√5；临界圆盘含非零格点2，由它构造的代表仍是p。 — 理想格的面积与小范数代表

图中蓝点是 $\mathfrak p$ ，灰点是 $R$ 中不属于 $\mathfrak p$ 的点；坐标 $(a,b\sqrt5)$ 属于 $\mathfrak p$ 当且仅当 $a+b$ 为偶数。绿色区域由基 $(2,0),(1,\sqrt5)$ 张成，面积为 $2\sqrt5$ 。临界圆盘半径约为 $2.386$ ，含 $\alpha=2$ ，由它得到 $J=(2)\mathfrak p^{-1}=\mathfrak p$ 。这张图检查一个具体代表；覆盖所有类的是上面对任意 $I$ 的证明。

列出小范数代表，完成类群计算

范数 $1$ 的理想只能是 $R$ 。若 $\mathrm N(J)=2$ ，则 $R/J$ 是含两个元素的域，必为 $\mathbb F_2$ 。自然商映射中， $s$ 的像满足

X^2+5=X^2+1=(X+1)^2

在 $\mathbb F_2$ 中的方程，故只能是 $1$ 。于是该商映射就是 $a+bs\mapsto a+b\bmod2$ ，其核唯一等于 $\mathfrak p=(2,1+s)$ 。

所以类群至多有 $[R],[\mathfrak p]$ 两个元素； $\mathfrak p$ 非主保证它们不同， $\mathfrak p^2=(2)$ 给出乘法表：

乘法	$[R]$	$[\mathfrak p]$
$[R]$	$[R]$	$[\mathfrak p]$
$[\mathfrak p]$	$[\mathfrak p]$	$[R]$

因此 $\operatorname{Cl}(R)\cong C_2$ ，类数恰为 $2$ 。

把类群结论用于判断主理想

已知 $\mathfrak p\mathfrak q=(1+s)$ 、 $\mathfrak p\mathfrak r=(1-s)$ ，所以

[\mathfrak q]=[\mathfrak r]=[\mathfrak p]^{-1}=[\mathfrak p].

对仅含这三个素理想的整理想

I=\mathfrak p^a\mathfrak q^b\mathfrak r^c

有 $[I]=[\mathfrak p]^{a+b+c}$ ，故 $I$ 主当且仅当 $a+b+c$ 为偶数。例如 $\mathfrak p\mathfrak q$ 和 $\mathfrak q^2$ 都主，生成元分别已算为 $1+s$ 与 $2-s$ ； $\mathfrak p\mathfrak q\mathfrak r$ 则非主。这里的奇偶公式限于已经识别了类的三个素理想，不能未经计算就把所有素理想都放入非平凡类。

一般地，Dedekind 整环的类群平凡，当且仅当每个非零整理想都是主理想：一个方向直接由商群定义，另一方向用公共分母把分式理想化为整理想。类群因此精确记录理想能否主生成；即使类数有限，也不等于已经提供了任意大理想的高效生成元搜索算法。

参考资料

J. S. Milne，Algebraic Number Theory，v3.08，July 19, 2020，印刷页54（类群定义）；Propositions 4.1–4.2，页69–70（理想范数）；Theorem 4.3、Example 4.6，页70–71（Minkowski 界与 $\mathbb Q(\sqrt{-5})$ ）；Theorems 4.17、4.19，页75–76（格点面积机制）；Propositions 4.26–4.27，页79–81（理想格与类代表）。本页在该二次域中直接计算余面积，并用圆盘得到所需界。

形式陈述 ​

理想范数先回答“商到底有多大” ​

素理想的每一层都贡献同一个剩余域 ​

用范数认证一个新的平方分解 ​

一个非主理想不会因平方主就变成主 ​

把整理想看成复平面中的格 ​

圆盘中的非零元素给出小范数理想 ​

列出小范数代表，完成类群计算 ​

把类群结论用于判断主理想 ​

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