Dedekind 整环

普通整数分解依赖素因子的存在和消去。理想分解也需要这两件事，但“除以一个理想”不能理解成逐个除以某个生成元，因为这个理想未必是主理想。分式理想把除法放在分式域中，让多个生成元共同参与可逆性。

三个假设在证明中各有任务：Noether 性提供有限生成与严格升链的终止；整闭性把一个由有限矩阵关系控制的分式拉回 $A$；非零素理想的极大性则把中间理想的选择压缩成“等于该素理想”或“等于全环”。先证明素理想有逆，才能用这些逆不断扩大待分解的理想，最终走到 $A$。

行列式技巧：保持一个理想的分式其实在环内 ​

设 $0\ne J=(u_1,\dots ,u_r)\subseteq A$，且 $x\in K$ 满足 $xJ\subseteq J$。写

令 $C=(c_{ij})$、$u=(u_1,\dots ,u_r{)}^{\mathsf{T}}$，则 $(x{I}_r-C)u=0$。乘以伴随矩阵得到

至少一个 $u_i\ne 0$，而 $K$ 是域，故 $\det (x{I}_r-C)=0$。多项式 $\det (T{I}_r-C)$ 首一，系数在 $A$，所以 $x$ 在 $A$ 上整；整闭性给出 $x\in A$。这里没有假定生成元线性无关，行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。作用在记录关系的方阵上即可。

每个真非零理想包含一个素理想乘积 ​

暂时只用 Noether 性。若结论不成立，选一个按包含极大的反例 $J$。它不是素理想，否则自身就是一个素理想乘积。故存在 $a,b\notin J$，但 $ab\in J$。两个较大理想 $J+(a)$、$J+(b)$ 都包含有限个非零素理想的乘积，而

将两组乘积合并，就在 $J$ 内得到所需乘积，矛盾。若较大理想等于 $A$，使用空乘积 $A$ 即可。这里所有反例都非零，所以当极大反例是素理想时，它确为非零素理想。

这一步只得到一个包含关系，还没有把 $J$ 本身分解。它的用途是为下一步找到一个恰好不在环内的分式。

每个非零素理想都有逆 ​

固定非零素理想 $\mathfrak{p}$，取 $0\ne a\in \mathfrak{p}$。在包含于 $(a)$ 的非零素理想乘积中，选择因子个数最少的一个：

素性迫使某个 ${\mathfrak{p}}_i\subseteq \mathfrak{p}$；两者都极大，所以相等，重排后令 ${\mathfrak{p}}_1=\mathfrak{p}$。最小性保证

取其中的 $b\notin (a)$；若 $r=1$，右边的空乘积为 $A$，可以取 $b=1$。令 $x=b/a$，则

因此 ${\mathfrak{p}}^{-1}=\{y:y\mathfrak{p}\subseteq A\}$ 严格包含 $A$。它确为分式理想：由 $a{\mathfrak{p}}^{-1}\subseteq A$ 和 Noether 性可知有限生成。

乘积 $\mathfrak{p}{\mathfrak{p}}^{-1}$ 是 $A$ 内的理想，而且

由极大性，它只能等于 $\mathfrak{p}$ 或 $A$。若等于 $\mathfrak{p}$，上面的 $x\notin A$ 就满足 $x\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}$，与行列式技巧矛盾。因此

已有二次域算例确实满足三个假设 ​

取 $s=\sqrt{-5}$，$R=\mathbb{Z}[s]$。代数整数页的分母与奇偶性论证公理库代数整数与数域整数环Algebraic integer · Ring of integers of a number field · 数域整数环用首一整数方程定义代数整数，并通过分母与奇偶性确定二次数域的整数环。已经确定 $R={\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}(s)}$；作为 $\mathbb{Z}$ 在数域中的整闭包，它在自身分式域中整闭。

$R$ 作为加法群是 ${\mathbb{Z}}^2$。任意理想都是这个有限秩自由 Abel 群的子群，因此由有限个整数线性组合生成；同一批元素也作为 $R$-理想生成它，所以 $R$ Noether。

若 $P\ne 0$ 是素理想，取 $0\ne a+bs\in P$，则

于是 $R/P$ 是有限环 $R/nR$ 的商；它又是整环，故是域。这里有限整环中，乘以任意非零元素是单射，有限性使它满射，因而有乘法逆。故 $P$ 极大，三个假设全部得到验证。

此前具体求得的理想公理库二次域中的元素与理想分解Ideal factorization in Q(sqrt(-5))在整数环 Z[√−5] 中逐项计算主理想的素理想分解，并证明 (6) 的这一次分解唯一。

满足 ${\mathfrak{p}}^2=(2)$、$\mathfrak{q}\mathfrak{r}=(3)$，所以

现在的一般定理说明：这些可逆现象适用于 $R$ 的每个非零理想，而不只适用于已经手算的三个。它仍不意味着每个理想都是主理想，$\mathfrak{p}$ 已被证明不是主理想。

整闭条件失去后，消去为什么可能失败 ​

在 $A=k[t^2,t^3]\subset k(t)$ 中，取 $I=(t^2,t^3)$。这个环是有限生成 $k$-代数，因而 Noether，但 $t\notin A$ 满足首一方程 $T^2-t^2=0$，所以不整闭。

有 $tI\subseteq I$：$t\cdot t^2=t^3$，$t\cdot t^3=t^4=t^2\cdot t^2$。若 $I$ 有乘法逆 $J$，则两边乘 $J$ 得

推出 $t\in A$，矛盾。这正对应行列式技巧中的缺口：它仍证明 $t$ 整，却已不能推出 $t$ 属于原环。

素理想指数与包含方向相反 ​

对非零整理想 $I,J$，有

若 $I\subseteq J$，乘以 $J^{-1}$ 得 $I{J}^{-1}\subseteq A$，其素理想指数全部非负；反向按指数差写 $I=JC$，其中 $C\subseteq A$，自然得到包含。于是理想的“更高次整除”对应集合的“更小”。

例如在上面的二次环中，$(6)={\mathfrak{p}}^2\mathfrak{q}\mathfrak{r}\subseteq (2)={\mathfrak{p}}^2$，但 $(2)⊈(6)$。等式中的素理想乘法与集合交并是不同运算，不应从普通数的大小推测包含方向。

从可逆素理想得到分解存在性 ​

设 $0\ne I⊊A$，选择极大理想 $\mathfrak{p}\supseteq I$，并令

由 $I\subseteq \mathfrak{p}$ 得 $J\subseteq A$；又因 $A\subseteq {\mathfrak{p}}^{-1}$，有 $I\subseteq J$。这个包含严格：若 $I=J$，取前面构造的 $x\in {\mathfrak{p}}^{-1}\setminus A$，则 $xI\subseteq I$，行列式技巧再次给出矛盾。

同时 $\mathfrak{p}J=I$。若 $J\ne A$，重复该步骤；每次都得到严格更大的整理想。Noether 升链条件保证有限步后到达 $A$，反向代回得到 $I$ 的有限素理想乘积分解。

素性与可逆性得到唯一性 ​

若

则右边包含于 ${\mathfrak{p}}_1$，素性迫使某个 ${\mathfrak{q}}_j\subseteq {\mathfrak{p}}_1$，极大性迫使相等。乘以共同因子的逆，将它约去，继续即可。如果一边先变成空乘积 $A$，另一边不能仍含真理想因子，因为这样的乘积包含于真理想。故两边因子完全相同，允许重排。

任意分式理想 $I$ 可写成 $(d{)}^{-1}(dI)$，其中 $0\ne d\in A$ 且 $dI\subseteq A$。分解两个整理想 $dI$ 与 $(d)$，相减其指数，得到整数指数的表达。若有两种表达，乘以足够多的素理想把全部指数变成非负数，再用整理想的唯一性，便得到它们原来就相同。

这些表达同时给出乘法逆 $J$。它与开头的集合公式一致：若 $x\in J$，则 $xI\subseteq JI=A$；若 $xI\subseteq A$，则

即 $x\in J$。因此 $J=I^{-1}$，没有把“候选逆集合”与“已经证明的乘法逆”混淆。

局部情形与类群接口 ​

若非域 Dedekind 整环 $A$ 还是局部环公理库局部环Local ring恰有一个极大理想、因而单位与非单位由同一个剩余点分开的交换环。，其唯一非零素理想就是极大理想 $\mathfrak{m}$。由 $\mathfrak{m}{\mathfrak{m}}^{-1}=A$，可写 $1=\sum _i{a}_i{b}_i$，其中 $a_i\in \mathfrak{m},b_i\in {\mathfrak{m}}^{-1}$。至少一个 $a_i{b}_i$ 是单位，否则和仍在 $\mathfrak{m}$ 中。固定这样的 $a,b$，对任意 $x\in \mathfrak{m}$，

故 $\mathfrak{m}=(a)$。所有非零理想于是都是 $(a^r)$；每个非零分式都唯一写成 $u{a}^r$，其中 $u$ 为单位、$r\in \mathbb{Z}$。指数给出离散赋值，这样的局部环称为离散赋值环。

全局情形的可逆理想却未必能选一个生成元。把所有分式理想对主分式理想取商，得到理想类群公理库理想类群Ideal class group · Class number以分式理想对主理想取商衡量主生成的障碍，证明二次整数环的理想范数乘法性，再用 Minkowski 圆盘界完整算出 Q(√−5) 的二阶类群。。该页继续证明理想范数的乘法性，并用平面面积论证将 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 的全部理想类压缩成两个代表。