Dedekind 素理想分解判据

模 $p$ 的多项式因式分解描述环 $\mathbb{Z}[\alpha ]/p\mathbb{Z}[\alpha ]$。我们真正关心的却是完整整数环模 $p$。只有当子阶漏掉的整元素不在素数 $p$ 处制造问题时，这两个有限代数才一致。

指数不被 $p$ 整除，正是“在 $p$ 附近没有漏格点”的条件。它让多项式的不可约因子对应不同素理想，次数对应剩余域大小，重复因子对应幂零厚度。少掉它，重复因子可能只是在错误的阶中出现。

用整基原始元分解 $3$ ​

取 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})$，$\theta =(1+\sqrt{13})/2$。整基计算公理库数域的整数基Integral basis整数环是秩等于扩张次数的自由整数模；用迹配对证明有限生成，并在 Q(√13) 中算出幂基子阶的指数。已证明 ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\theta ]$，极小多项式为 $f=X^2-X-3$，指数一。

模 $3$ 有 $\overline{f}=X(X-1)$，所以

两因子的重数、次数均为一，因此 $e_1=e_2=f_1=f_2=1$。商映射分别把 $\theta$ 送到 $0$ 与 $1$，确认两个素理想不同，剩余域均为 ${\mathbb{F}}_3$。

模 $13$ 则为 $(X-7{)}^2$，故

这里出现重因子完全合法，因为 $13$ 不整除指数一；它准确反映真正分歧。不能把定理误说成“只对不整除多项式判别式的素数有效”，那会无谓排除可正确处理的分歧情形。

换成平方根后，$2$ 会造成假象 ​

改用原始元 $\alpha =\sqrt{13}$，极小多项式为 $h=X^2-13$，但现在指数为二。模 $2$，

若忽略前提，就会误读为 $e=2,f=1$。实际用完整整基得到

所以 $2$ 惰性，$e=1,f=2$，根本没有分歧。

失效可以在候选理想中看见。由 $\alpha -1=2(\theta -1)$，

其商有四个元素，而不是错误的一次因子所预测的两个。在子阶模 $2$ 中非零的 $\alpha -1$，进入完整整数环模 $2$ 后已经变成零；两个模 $2$ 代数不是同一个对象。

指数条件如何进入证明 ​

令 $A=\mathbb{Z}[\alpha ]$。有限群 ${\mathcal{O}}_K/A$ 的阶为 $m$。若 $p\nmid m$，乘以 $p$ 在该群上可逆，从而由短正合列公理库短正合列Short exact sequence · Short exact extension以单态射、满态射和中间正合性把子对象、扩张对象与商对象连接起来的三项正合列。得到自然同构

左边等于 ${\mathbb{F}}_p[X]/(\overline{f})$。将 $\overline{f}$ 按互素不可约因子分解，再用中国剩余定理公理库环上的中国剩余定理Chinese remainder theorem for rings两两互素理想的交商与对应商环直积之间存在规范同构。，得到各个 ${\mathbb{F}}_p[X]/({\overline{g}}_i^{e_i})$。它们的唯一素理想和幂零层数，正好给出定理中的素理想、剩余次数与重数。

实际计算可按以下顺序进行：确定一个整原始元及其指数；核查 $p$ 是否为指数的因子；在条件通过后因式分解 $\overline{f}$；提升因子并写出 ${\mathfrak{P}}_i$；最后检查 $\sum e_i\mathrm{deg}{g}_i=[K:\mathbb{Q}]$。多项式分解是主要计算步骤，复杂度取决于所选有限域算法与 $p$ 的位长，定理本身不提供常数时间的分解方法。

如果只知道幂基判别式，也可使用指数平方公式公理库数域判别式Number field discriminant整基迹配对的行列式定义数域判别式，推导换基平方律并用 Q(√13) 区分域判别式、幂基判别式和分歧。：$m^2$ 整除该判别式，所以不整除幂基判别式的素数一定安全。反向不能推：整除幂基判别式的素数可能是真分歧，也可能是坏指数，必须继续区分。