数域的不同理想

整数环里两个元素相乘后取迹，总是整数；但允许其中一个元素带分母时，仍可能与全部整数配对出整数。余不同理想收集所有这样的额外测试元素。不同理想取其乘法逆，把这些允许的分母转回整数环内的一份算术数据。

判别式是基环 $\mathbb{Z}$ 里的一个整数，不同理想则留在数域整数环里。后者可以区分同一个有理素数上方不同素理想处的行为，再通过理想范数汇总成判别式。

在 $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ 中求完整对偶基 ​

用整数基公理库数域的整数基Integral basis整数环是秩等于扩张次数的自由整数模；用迹配对证明有限生成，并在 Q(√13) 中算出幂基子阶的指数。 $(1,\theta )$，其中 $\theta =(1+\sqrt{13})/2$。迹矩阵及其逆为

所以迹对偶基为

例如

其余两项为 $\mathrm{Tr}({\beta }_2)=0$、$\mathrm{Tr}(\theta {\beta }_2)=1$，确实得到单位配对矩阵。

因为 $2\theta -1=\sqrt{13}$ 且 $(\theta -1)\sqrt{13}=7-\theta$，可改写为

$1,\theta -1$ 也是整数基，因此

例如 $1/\sqrt{13}$ 不是代数整数，却属于迹对偶；其与 $1$、$\theta$ 的配对分别为 $0,1$，足以检验它与全部整数环元素的配对都整。

导数公式的前提不能省略 ​

若完整整数环恰为 ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$，且 $f$ 是 $\alpha$ 的首一极小多项式，则

这个公式来自对幂基构造迹对偶：不同共轭根的插值公式把分母统一写成 $f^{\prime }(\alpha )$。它要求用的是完整整数环的单生成整基，而不是任意整原始元。

本例 $f=X^2-X-3$，所以 $f^{\prime }(\theta )=2\theta -1=\sqrt{13}$，与直接对偶计算一致。若改用 $\alpha =\sqrt{13}$，导数变成 $2\sqrt{13}$；由于 $\mathbb{Z}[\alpha ]$ 指数为二，不能用它替代完整整数环的不同理想。错误结果会多出素数 $2$，而本域在 $2$ 处并不分歧。

不同理想满足

右侧是数域判别式公理库数域判别式Number field discriminant整基迹配对的行列式定义数域判别式，推导换基平方律并用 Q(√13) 区分域判别式、幂基判别式和分歧。的绝对值。本例 $(\sqrt{13})$ 的理想范数为 $13$，与 $D_K=13$ 相符。理想范数没有符号，不能在一般数域中把绝对值删去。

对上方素理想 $\mathfrak{P}$，$\mathfrak{P}\mid \mathfrak{D}$ 当且仅当它分歧。若剩余特征不整除分歧指数公理库分歧指数与剩余次数Ramification index · Residue degree素数分解中的指数 e 与剩余域次数 f 记录不同信息，通过 Q(√13) 的惰性、分裂、分歧三例核验求和公式。 $e$，即驯分歧，则

野分歧时指数更大。例如 $\mathbb{Q}(i)$ 的不同理想是 $(2i)=(2)=(1+i{)}^2$（按理想相等），在 $2$ 上方的 $e=2$，不同指数为 $2>e-1$。因此不同理想还区分分歧的强弱。

密码学里出现的迹对偶环正是这里的余不同理想，但它不是不加说明的“系数向量 Euclidean 对偶”。从代数配对转到几何对偶时，要同时处理所选基、复共轭以及实复坐标缩放。本页的对偶基计算提供了明确的转换起点。