分歧指数与剩余次数

可以把 $p$ 上方的局部信息分成三个问题：有几个不同位置，即 $g$；每个位置有多少层重复，即 $e_i$；每层的数值域比 ${\mathbb{F}}_p$ 大多少，即 $f_i$。求和公式说所有位置的“层数乘每层大小”合起来，恰好恢复原数域的次数。

分歧与惰性尤其容易混淆。惰性素数只有一个上方素理想，但它没有重复层；次数全部保存在更大的剩余域里。完全分歧也只有一个上方素理想，却把次数放在重复层中，剩余域仍为 ${\mathbb{F}}_p$。

在同一个二次数域看三种行为 ​

固定 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})$，${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\theta ]$，${\theta }^2-\theta -3=0$。

模 $2$，多项式为 $X^2+X+1$，在 ${\mathbb{F}}_2$ 的两个点都不为零，因此不可约。所以

理想 $(2)$ 本身素，故 $e=1,f=2$，这是惰性；次数核验为 $1\cdot 2=2$。

模 $3$，多项式分解为 $X(X-1)$，两个根不同。相应素理想为

剩余域均为 ${\mathbb{F}}_3$。它们的乘积包含 $\theta (\theta -1)=3$，而所有乘积生成元都在 $(3)$ 中，所以 $(3)=\mathfrak{P}\mathfrak{Q}$。此时 $e_1=e_2=f_1=f_2=1$，核验 $1+1=2$，属于完全分裂。

模 $13$，多项式为 $(X-7{)}^2$。令 $\mathfrak{R}=(\sqrt{13})$；因为 $\sqrt{13}=2\theta -1$，它等于 $(13,\theta -7)$，商环为 ${\mathbb{F}}_{13}$，且

于是 $e=2,f=1$，核验 $2\cdot 1=2$，属于完全分歧。

求和公式怎样从整数基得到 ​

整数基公理库数域的整数基Integral basis整数环是秩等于扩张次数的自由整数模；用迹配对证明有限生成，并在 Q(√13) 中算出幂基子阶的指数。说明 ${\mathcal{O}}_K$ 是秩 $n$ 的自由整数模，因此 ${\mathcal{O}}_K/p{\mathcal{O}}_K$ 作为 ${\mathbb{F}}_p$-向量空间维数为 $n$。由中国剩余定理公理库环上的中国剩余定理Chinese remainder theorem for rings两两互素理想的交商与对应商环直积之间存在规范同构。，它分解为

对每个因子，用幂次理想过滤。Dedekind 局部结构说明每层 ${\mathfrak{P}}_i^j/{\mathfrak{P}}_i^{j+1}$ 是剩余域 ${\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{P}}_i$ 的一维向量空间，所以作为 ${\mathbb{F}}_p$ 空间每层维数为 $f_i$。一共有 $e_i$ 层，逐层相加便得到 $\sum e_i{f}_i=n$。

若 $K/\mathbb{Q}$ 是 Galois 扩张，Galois 群传递地置换 $p$ 上方的素理想，所有 $e_i$ 相同、所有 $f_i$ 相同，公式简化成 $gef=n$。在非 Galois 扩张中，不能直接假设剩余次数相同；应使用求和版本。

Dedekind 判据公理库Dedekind 素理想分解判据Dedekind factorization theorem在素数不整除幂基指数时，由模 p 多项式的重数与次数读取素理想分解；完整展示坏指数素数的误判与修正。在指数条件满足时，从模 $p$ 的因式重数与次数直接读出 $e_i,f_i$。分解群与惯性群公理库分解群与惯性群Decomposition group · Inertia groupGalois 群在素理想上的稳定子给出分解群，剩余域作用的核给出惯性群，并在一个二次域中算出三种情形。则在 Galois 情形中把这两个数解释成群的阶，进一步连接到 Frobenius。