局部域与分歧

${\mathbb{Z}}_p$ 的每一层只有有限多个余数，完备性又保证一条无限相容的数字路径有终点。这两件事结合，得到紧性：一个开覆盖若在每个有限层都无法缩成有限覆盖，就能沿一条路径一直走；最终的极限点却必落入某个开集，造成矛盾。

二次扩张可以用两种方式增加信息。在 ${\mathbb{Q}}_3(\sqrt{2})$ 中，赋值仍按整数步变化，但每一层的剩余域从三个元素扩大到九个。在 ${\mathbb{Q}}_3(\sqrt{3})$ 中，剩余域仍有三个元素，却在原来的赋值间隔中插入半步，因为 ${\beta }^2=3$。

图中向上的箭头表示小理想包含于大理想，旁边数字是大理想对小理想的加法群指数。中列统一使用延拓 $v_3$ 的赋值，标出各理想非零元素的最小赋值；右侧的整数归一化赋值则要乘以 $2$。相隔一个基域步长的两层商都有九个元素，但中间是否还有理想层，反映了分歧指数的差别。

用开覆盖直接证明 ${\mathbb{Z}}_p$ 紧 ​

基本邻域为余类

它们既开又闭，每个又分成恰好 $p$ 个模 $p^{n+1}$ 的余类。假设一个开覆盖没有有限子覆盖。由于第一层只有 $p$ 个余类，其中至少一个不能被有限个覆盖成员覆盖；否则把这 $p$ 份有限子覆盖合起来就覆盖整个 ${\mathbb{Z}}_p$。

在这个余类中重复选择，得到嵌套余类 $C_n=a_n+p^n{\mathbb{Z}}_p$，每个都没有有限子覆盖。它们的相容余数定义一个 $x\in {\mathbb{Z}}_p$，满足 $x\in C_n$ 对所有 $n$ 成立。原覆盖的某个开集 $U$ 包含 $x$，所以存在 $N$ 使

一个覆盖成员便覆盖 $C_N$，矛盾。因此 ${\mathbb{Z}}_p$ 紧。

${\mathbb{Z}}_p$ 又是 ${\mathbb{Q}}_p$ 中的开集：例如 $|x{|}_p<p$ 等价于 $|x{|}_p\le 1$，因为非零距离只取 $p$ 的整数次幂。每个 $x+{\mathbb{Z}}_p$ 都是紧邻域，所以 ${\mathbb{Q}}_p$ 是局部域。它自身不紧，因为开覆盖

没有有限子覆盖，任意有限部分仍漏掉更大的负赋值。

赋值环的局部结构 ​

对任意离散赋值域，$x\in {\mathcal{O}}_L$ 可逆，当且仅当 $w(x)=0$：其逆赋值为 $-w(x)$。所以全部非单位恰为 ${\mathfrak{m}}_L$，它是理想，${\mathcal{O}}_L$ 是局部环公理库局部环Local ring恰有一个极大理想、因而单位与非单位由同一个剩余点分开的交换环。，且 $k_L$ 确为域。

若 $w({\pi }_L)=1$，每个非零 $x$ 唯一写成

任意非零整理想 $I$ 的非零元素赋值都是非负整数，选取最小值 $r$ 及达到它的元素 $x$。对每个 $y\in I$，$w(y/x)\ge 0$，故 $I=(x)=({\pi }_L^r)$。因此这里的整数环是离散赋值环，理想结构由一个整数指数控制。

非分歧二次域：剩余域扩大为九个元素 ​

多项式 $T^2-2$ 在 ${\mathbb{Q}}_3$ 上不可约。若 $x^2=2$，则 $v_3(x)=0$，把单位 $x$ 模 $3$ 化简会给出平方为 $2$ 的元素；但 ${\mathbb{F}}_3$ 中的平方只有 $0,1$。因此 $L_u={\mathbb{Q}}_3[T]/(T^2-2)$ 是二次域，每个元素唯一写成 $a+b\alpha$。

在基 $(1,\alpha )$ 上，乘法算子的行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。为

乘法矩阵满足 $M_{xy}=M_x{M}_y$，故 $N_u(xy)=N_u(x)N_u(y)$。对 $x\ne 0$，定义

下面算出这个函数确实是赋值。置 $m=min(v_3(a),v_3(b))$，写 $a=3^{m}A,b=3^{m}B$，其中 $A,B\in {\mathbb{Z}}_3$，至少一个是单位。模 $3$ 有

因为两个平方各为 $0$ 或 $1$，且不同时为零。因此

零坐标按 $v_3(0)=+\mathrm{\infty }$ 处理。范数乘法性给出 $v_u(xy)=v_u(x)+v_u(y)$，坐标最小值公式给出 $v_u(x+y)\ge min(v_u(x),v_u(y))$。它限制在 ${\mathbb{Q}}_3$ 上就是 $v_3$，且值群为 $\mathbb{Z}$。

于是

且约化两个系数给出

多项式在 ${\mathbb{F}}_3$ 上没有根，所以这个二次商确实是域。取 $w_{L_u}=v_u$，有 $w_{L_u}(3)=1$，故 $(e,f)=(1,2)$。

例如 $1+\alpha$ 的范数为 $-1$，是单位；其逆是 $\alpha -1$。而 $3+3\alpha =3(1+\alpha )$ 赋值为 $1$，距离零的绝对值为 $3^{-1}$。

完全分歧二次域：赋值中插入半步 ​

$T^2-3$ 也在 ${\mathbb{Q}}_3$ 上不可约，因为 $x^2=3$ 会要求 $2v_3(x)=1$，与 $v_3(x)\in \mathbb{Z}$ 矛盾。令 $L_r={\mathbb{Q}}_3(\beta )$、${\beta }^2=3$，定义

对非零元素成立，零的赋值为 $+\mathrm{\infty }$。两个非零范数项的赋值分别为偶数 $2v_3(a)$ 和奇数 $1+2v_3(b)$，不会相等，因此不能在最低位抵消：

一个坐标为零时公式仍成立。与前例一样，乘法性来自范数，强三角不等式来自坐标公式，因而得到延拓 $v_3$ 的赋值；但现在值群为 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$。

因为两个系数的 $3$-adic 赋值是整数，

所以整数环仍有完整的二元基：

严格正赋值则等价于 $a\in 3{\mathbb{Z}}_3,b\in {\mathbb{Z}}_3$，而

因此 ${\mathfrak{m}}_{L_r}=(\beta )$，商映射 $a+b\beta \mapsto amod3$ 给出剩余域 ${\mathbb{F}}_3$。

整数归一化必须改成 $w_{L_r}=2v_r$，于是

故 $(e,f)=(2,1)$。这里 $3={\beta }^2$，正是基域的一个赋值步在扩域中变成两个最小步。

例如 $v_r(\beta )=1/2$，但 $v_r(3+\beta )=1/2$ 也成立，因为两项赋值不同。使用延拓原绝对值的约定 $|x|=3^{-v_r(x)}$ 时，$|\beta |=3^{-1/2}$；若改用 $w_{L_r}$，应写成 $|x|=(3^{-1/2}{)}^{w_{L_r}(x)}$，不能误写成 $3^{-w_{L_r}(x)}$ 后仍声称在基域上等于原来的绝对值。

与 Hensel 简单根提升的关系 ​

Hensel 引理公理库Hensel 引理：简单根的唯一提升Hensel's lemma · 亨泽尔引理模素数的简单根在指定余类内唯一提升为 p-adic 根，并以逐位递推计算 11-adic 的三的平方根。在基域里提升已有的简单剩余根。$T^2-2$ 在 ${\mathbb{F}}_3$ 中根本没有根；$T^2-3$ 的唯一剩余根 $0$ 的导数又为零。所以这两个扩域中的新根都不是在 ${\mathbb{Z}}_3$ 中对一个简单根直接提升得到的。

反过来，$T^2-3$ 在 ${\mathbb{F}}_{11}$ 中有两个简单根，旧页已将它们提升为 ${\mathbb{Q}}_{11}$ 中的根。同一个有理多项式相对于不同素数，可以表现出不同的局部性质。

两个新域为什么确实局部紧且完备 ​

在 $L_u$ 中，

在 $L_r$ 中，

因此选定的坐标映射 ${\mathbb{Q}}_3^2\to L$ 都是同胚，Cauchy 性等价于两个系数分别 Cauchy。${\mathbb{Q}}_3$ 完备，故两个新域都完备。

它们的整数环在坐标下恰为 ${\mathbb{Z}}_3^2$，是有限个紧空间的积，因而紧。由赋值离散，整数环还是开集，所以其平移给每个点一个紧邻域，两个域都是局部域。乘法连续由乘法绝对值和强三角不等式保证；在 $x\ne 0$ 附近，$|y|=|x|$ 最终稳定，公式

又证明取逆连续。

这里的整数环也确实是 ${\mathbb{Z}}_3$ 的整闭包 ​

整闭包公理库整闭包Integral closure · Normalization of a domain给定扩环中所有在基环上整的元素所成的子环，以及由此定义的整闭性质。由首一方程定义，赋值环则由非负赋值定义。下面证明在这两个例子中它们是同一个环。

若 $x$ 满足首一 ${\mathbb{Z}}_3$ 系数方程，却有 $v(x)<0$，则最高次项 $x^n$ 的赋值严格小于每个低次项 $c_i{x}^i$ 的赋值。强三角不等式的严格情形说明，唯一最低赋值的项不可能与其余项相加为零，矛盾。因此每个整元素都在 ${\mathcal{O}}_L$。

反方向，若 $a,b\in {\mathbb{Z}}_3$，则在 ${\gamma }^2=d$（$d=2$ 或 $3$）的两个例子中，

这是一条首一 ${\mathbb{Z}}_3$ 系数方程。因此已算出的赋值环正是整闭包，证明了表中的整数基没有遗漏其他整元素。

两种有限精度商的差别 ​

在非分歧例子中，

是域。在完全分歧例子中，$3={\beta }^2$，所以

有九个元素，却包含非零平方零元 $\bar{\beta }$，不是域。真正的剩余域应模掉极大理想 $(\beta )$，得到 ${\mathbb{F}}_3$。因此“模基域素数后的元素个数”不能直接当成剩余域大小；先辨认统一化参数和极大理想，才能正确读出 $e$ 与 $f$。