p-adic 赋值与绝对值

对整数 $a,b$，模同余公理库模同余Congruence modulo n两整数之差被给定正整数整除时成立的等价关系。可以直接翻译成距离：对 $n\ge 0$，

因此，模 $p^{n+1}$ 一致比模 $p^n$ 一致多知道一位；信息更精确，对应的距离更小。这个翻译中的界是 $\le$，因为恰被 $p^n$ 整除的差也满足该同余。

强三角不等式从哪里来 ​

乘法使素指数相加，所以 $v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y)$。对加法，设非零 $x,y$ 的赋值分别为 $r\le s$，写成

则

分母不含 $p$，分子可以额外含 $p$，故 $v_p(x+y)\ge r$；若和为零，结论用 $v_p(0)=+\mathrm{\infty }$ 理解。若 $r<s$，分子模 $p$ 等于非零的 $ad$，故此时恰有 $v_p(x+y)=r$。只有 $r=s$ 时，两项的最低位才可能相互抵消。

取 $p$ 的负指数，赋值不等式便转成强三角不等式。距离的非负性、对称性和 $d_p(x,y)=0\iff x=y$ 显然成立；强三角不等式又蕴含通常三角不等式，所以这确实是一种度量。

同样的有理数，另一种远近 ​

取 $p=11$，有

倒数把赋值变号，也把绝对值取倒数。对于后续求根将遇到的整数，

$27$ 和 $5$ 在通常距离下相差 $22$，却在 11-adic 距离下比 $5$ 和 $6$ 更接近：前一对具有相同的模 $11$ 余数，后一对的第一位就不同。这里比较的是共同保留了多少位同余信息。

最低位抵消也能直接看见：$v_{11}(5)=v_{11}(6)=0$，但 $v_{11}(5+6)=1$。因此加法的赋值一般只能写“至少为较小者”，不能总写等号。

相邻差趋零在这里足够 ​

在通常距离下，相邻差趋零不足以保证 Cauchy 性。超度量却给出更强的尾部控制：反复使用强三角不等式，对 $m>n$ 有

若右侧各相邻差在尾部都小于 $\epsilon$，任意两项的距离便小于 $\epsilon$。所以在 p-adic 距离下，相邻差趋零确实推出 Cauchy：强三角不等式把整个尾段的误差控制在最大的单步误差以内。

例如 $p^n\to 0$，因为 $|p^n{|}_p=p^{-n}\to 0$，尽管这些整数在通常距离下趋于无穷。几何部分和

则满足

因为 $p\nmid 1-p$。故它已经在有理数中收敛到 $1/(1-p)$；$p=11$ 时极限为 $-1/10$。实数意义下相同的部分和发散，并不与这个结论矛盾。

赋值把乘除运算转为整数加减，把同余精度转为距离界。若要保持模 $p^n$ 的精度，只需证明误差的赋值至少为 $n$；误差在通常实数绝对值下可能很大，仍不影响这种结论。

有理数并不会容纳所有 p-adic Cauchy 序列的极限。p-adic 整数与数公理库p-adic 整数与数p-adic integers and numbers · p进整数与数用相容余数构造 p-adic 整数环，并将它与有理数的 p-adic 完备化及其中的单位联系起来。将相容的模 $p^n$ 余数放到同一对象中，并将有理数按此距离完备化；随后 Hensel 引理公理库Hensel 引理：简单根的唯一提升Hensel's lemma · 亨泽尔引理模素数的简单根在指定余类内唯一提升为 p-adic 根，并以逐位递推计算 11-adic 的三的平方根。把“每一步多解出一位”变成一个真正存在且在指定余类内唯一的根。

这些计算可用同一个问题串起来：误差被多少个 $11$ 整除？$121/6$ 与 $6/121$ 的赋值分别为 $2$ 与 $-2$；${11}^n$ 到零的距离为 ${11}^{-n}$；$1+11+\cdots +{11}^{N-1}$ 到 $-1/10$ 的距离为 ${11}^{-N}$。最后两项的误差趋零，正是收敛结论的依据。