分解群与惯性群

在素理想上的群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。中，一个 Galois 自同构可能把所选的素理想送到另一个位置。分解群先保留“位置不变”的对称；在这些对称里，惯性群再挑出“连剩余数值也不改变”的部分。

所以分解群同时含有剩余域扩张和分歧两方面的信息。商掉惯性群后，只剩有限域上的可见对称；被商掉的核对应在模素理想以后看不见的分歧。

固定 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})$，$\theta =(1+\sqrt{13})/2$，则

下面三个素数的行为都能由同一个公式算出。

$3$ 完全分裂：稳定子已平凡 ​

$(3)=\mathfrak{P}\mathfrak{Q}$，其中 $\mathfrak{P}=(3,\theta )$、$\mathfrak{Q}=(3,\theta -1)$。共轭 $\sigma$ 交换两个素理想，因为把 $\theta$ 变成 $1-\theta$。因此

有 $g=2,e=f=1$，所有群阶与 $gef=2$ 一致。

$2$ 惰性：有剩余域对称，没有惯性 ​

$\mathfrak{P}=(2)$ 是唯一上方素理想，所以 $D_{\mathfrak{P}}=G$。剩余域为 ${\mathbb{F}}_4$，令 $\overline{\theta }$ 为 $X^2+X+1$ 的根，则

约化后的 $\sigma$ 满足

是非平凡的平方自同构，故作用的核平凡：$I_{\mathfrak{P}}=1$。因此 $e=1,f=2$。唯一一个素理想并不意味着全部 Galois 群都是惯性群。

$13$ 分歧：剩余域看不见非平凡共轭 ​

此时 $(13)={\mathfrak{P}}^2$，$\mathfrak{P}=(13,\theta -7)$，剩余域为 ${\mathbb{F}}_{13}$。仍只有一个上方素理想，所以 $D_{\mathfrak{P}}=G$。但在剩余域中

非平凡共轭也作用为恒等，因此 $I_{\mathfrak{P}}=G$。现在 $e=2,f=1$，与惰性情形恰好把两部分大小交换了。

群阶公式的机制 ​

Galois 群传递地作用于 $p$ 上方的素理想，所以轨道—稳定子公式给出 $[G:D]=g$。Galois 情形中所有 $e,f$ 相同，又有 $gef=[K:\mathbb{Q}]=|G|$，于是 $|D|=ef$。

约化映射满射不是单从“这是群作用”就能推出的。有限 Galois 扩张的正规性保证剩余域自同构可以提升到所选素理想处的对称；也可在局部完成后利用正规扩张和剩余域的可分性证明。有限域 Galois 群阶为 $f$，所以核的阶为 $|D|/f=e$，得到惯性群公式。

若换选 $\mathfrak{Q}=\tau \mathfrak{P}$，则

因此在非交换 Galois 群中，具体子群依赖上方素理想，只在共轭意义下由 $p$ 决定。若扩张不是 Galois，不能直接写这些群阶公式；这时应先考虑正规闭包或逐个局部扩张。

当 $e=1$ 时，惯性群平凡，分解群与有限域 Galois 群同构。有限域的 $p$ 次幂映射便唯一提升为 Frobenius 元素公理库未分歧素数的 FrobeniusFrobenius automorphism at an unramified prime未分歧时剩余域 p 次幂映射唯一提升为 Galois 元素，解释共轭类依赖并从三次多项式的模素分解读出循环型。，这是下一页的出发点。