分圆域

旋转单位根的指数可以用模 $n$ 的整数记录。只有与 $n$ 互素的指数仍给本原单位根，所以 Galois 群自然对应模 $n$ 的单位群。群运算变成指数相乘，给出一族可以直接计算的阿贝尔扩张。

分圆域把三种对象放在同一张图里：复平面上的单位根、多项式的共轭根、模整数乘法群。进入素数算术后，$p$ 次幂映射又正好对应指数类 $[p]$，因此素数分解也能用同余计算。

五次分圆域的四个自同构 ​

取 $\zeta ={\zeta }_5$，则

次数为四，整数基公理库数域的整数基Integral basis整数环是秩等于扩张次数的自由整数模；用迹配对证明有限生成，并在 Q(√13) 中算出幂基子阶的指数。为 $(1,\zeta ,{\zeta }^2,{\zeta }^3)$。Galois 群为 $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }$，由 $2$ 生成：

所以它是四阶循环群。复共轭对应 $-1\equiv 4$，将 $\zeta$ 送到 ${\zeta }^{-1}$，其阶为二。

$5$ 如何完全分歧 ​

令 $\mathfrak{P}=(1-\zeta )$。将 $\zeta$ 设为 $1$ 后，关系 ${\mathrm{\Phi }}_5(\zeta )=0$ 变成 $5=0$，所以

因此 $\mathfrak{P}$ 是范数五的素理想。另一方面，

由数域范数的共轭公式公理库数域范数Number field norm · Field norm over the rationals将数域元素的乘法视作有理线性算子，以行列式定义范数并用于整数环中的因子约束。，对每个 $a=1,\dots ,4$，乘以 $a$ 会置换模 $5$ 的非零指数，故

于是整元素 $u_a=(1-{\zeta }^a)/(1-\zeta )=1+\zeta +\cdots +{\zeta }^{a-1}$ 满足 $N(u_a)=5/5=1$。在上述整数基下，乘以 $u_a$ 的矩阵为整数矩阵且行列式为 $1$，伴随矩阵给出整数逆，因此 $u_a^{-1}\in {\mathcal{O}}_K$。四个因子生成相同理想，得到

于是分歧指数与剩余次数公理库分歧指数与剩余次数Ramification index · Residue degree素数分解中的指数 e 与剩余域次数 f 记录不同信息，通过 Q(√13) 的惰性、分裂、分歧三例核验求和公式。为 $e=4,f=1$，且 $g=1$，次数全部体现在分歧指数中。

$2$ 惰性，$11$ 完全分裂 ​

若 $p\nmid 5$，算术 Frobenius公理库未分歧素数的 FrobeniusFrobenius automorphism at an unramified prime未分歧时剩余域 p 次幂映射唯一提升为 Galois 元素，解释共轭类依赖并从三次多项式的模素分解读出循环型。 满足 $\zeta \mapsto {\zeta }^p$，因此剩余次数等于 $p$ 在 $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 中的阶。对 $p=2$，阶为四，所以 $f=4,g=1,e=1$，是惰性素数。

对 $p=11$，$11\equiv 1(\mathrm{mod}5)$，Frobenius 为恒等，故完全分裂。可进一步在 ${\mathbb{F}}_{11}$ 中列出本原五次单位根：$4,5,9,3$，因为 $4^2=5$、$4^3=9$、$4^4=3$、$4^5=1$。于是

四个剩余域均为 ${\mathbb{F}}_{11}$，核验 $4\cdot 1\cdot 1=4$。

为什么次数真的等于 Euler 函数 ​

$X^n-1=\prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d(X)$ 先通过归纳说明 ${\mathrm{\Phi }}_n$ 有整数系数。不可约性的关键是：若 $f$ 为 ${\zeta }_n$ 的极小多项式，且素数 $p\nmid n$，则 ${\zeta }_n^p$ 也必须是 $f$ 的根。否则把 ${\mathrm{\Phi }}_n$ 分成 $f$ 与其他因子，模 $p$ 后使用 $g(X^p)=g(X{)}^p$，会迫使 $X^n-1$ 有重根；但它的导数 $n{X}^{n-1}$ 与它互素，矛盾。

每个与 $n$ 互素的正整数可分解为不整除 $n$ 的素数之积，因此所有本原单位根都是共轭。极小多项式便包含全部 $\phi (n)$ 个根，完成次数与 Galois 群的论证。整数环等于 $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$ 则还需局部整性分析，不能仅由这个不可约性证明代替。

只有整除 $n$ 的有理素数可能在 $K_n$ 中分歧，但“整除 $n$”不总保证分歧。例如 $\mathbb{Q}({\zeta }_6)=\mathbb{Q}({\zeta }_3)$，这个域只在 $3$ 分歧，$2$ 虽整除 $6$ 却未分歧。使用分圆参数时，要记住不同的 $n$ 可能描述同一个数域。