数域迹与迹配对

乘法算子的行列式给出数域范数公理库数域范数Number field norm · Field norm over the rationals将数域元素的乘法视作有理线性算子，以行列式定义范数并用于整数环中的因子约束。，迹则把沿全部共轭方向的作用相加。范数记录乘法，迹提供线性测量；将一个变量与另一个相乘后再取迹，就得到可用于构造对偶基的双线性配对。

非退化的意思是每个非零元素都能被某个测试元素检测出来，而不是每个非零元素的迹都非零，也不是 $B_K(\alpha ,\alpha )$ 总为正。这三句话必须区分。

在 $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ 中写出乘法矩阵 ​

令 $\theta =(1+\sqrt{13})/2$，则 ${\theta }^2=\theta +3$。在有理基 $(1,\theta )$ 下，对 $\alpha =a+b\theta$，

因此乘法矩阵及其迹为

另一嵌入把 $\theta$ 送到 ${\theta }^{\prime }=1-\theta$，两嵌入像之和同样为 $2a+b$，所以矩阵定义与共轭公式相互核验。

由 $\mathrm{Tr}(1)=2$、$\mathrm{Tr}(\theta )=1$、$\mathrm{Tr}({\theta }^2)=\mathrm{Tr}(\theta +3)=7$，迹配对矩阵为

它的行列式为 $13$，确实可逆。对 $\alpha =a+b\theta$、$\beta =c+d\theta$，展开得到

例如 $B_K(1+\theta ,2-\theta )=4-1+2-7=-2$。直接乘积为 $-1$，迹为 $-2$，结果一致。

迹零不代表元素零 ​

$\sqrt{13}=2\theta -1$ 的迹为 $2-2=0$，但它当然非零。若测试元素改取 $\sqrt{13}$，则

因此配对仍能检测它。

迹配对也不是一般的正定内积。在 $\mathbb{Q}(i)$ 的基 $(1,i)$ 下，矩阵为 $\mathrm{diag}(2,-2)$，因为 $i^2=-1$。正定的几何内积通常还需复共轭及适当的实嵌入约定，不能将这里的算术配对直接当成长度。

可分性不能在任意域中删除 ​

在特征 $p$ 中，扩张 ${\mathbb{F}}_p(s)\subset {\mathbb{F}}_p(u)$、$u^p=s$ 是纯不可分的。用 $1,u,\dots ,u^{p-1}$ 为基，乘以任意元素的迹都为零：常数乘法的迹为 $p$ 倍常数，其余幂的乘法矩阵没有对角项。因此迹配对完全退化。数域情形不会发生这种现象，因为特征零扩张自动可分。

若 $\alpha$ 是代数整数公理库代数整数与数域整数环Algebraic integer · Ring of integers of a number field · 数域整数环用首一整数方程定义代数整数，并通过分母与奇偶性确定二次数域的整数环。，其共轭之和也是代数整数，又属于 $\mathbb{Q}$，所以迹是整数。但仅有整数迹不足以保证整性：在 $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ 中，$\sqrt{13}/2$ 的迹为零，范数却为 $-13/4$，因此不是整数环元素。

整数基公理库数域的整数基Integral basis整数环是秩等于扩张次数的自由整数模；用迹配对证明有限生成，并在 Q(√13) 中算出幂基子阶的指数。的有限生成证明会把整数环夹在一个整格与它的迹对偶格之间。数域判别式公理库数域判别式Number field discriminant整基迹配对的行列式定义数域判别式，推导换基平方律并用 Q(√13) 区分域判别式、幂基判别式和分歧。取整基的迹配对行列式，不同理想公理库数域的不同理想Different ideal · Codifferent整数环的迹对偶是余不同理想，其逆为不同理想；显式求 Q(√13) 的对偶基，并用导数与局部分歧指数核验。则直接研究哪些元素与全部整数配对后仍为整数。这些构造使用的是双线性配对，而不只是单个元素的迹值。