线性算子的主分解与多项式投影

形式陈述

如何把一个向量分到不同不可约因子中

设 $T$ 是域 $F$ 上非零有限维空间 $V$ 的算子，其极小多项式分解为

m_T=\prod_{i=1}^r q_i,\qquad q_i=p_i^{e_i},

其中 $p_i$ 是互异首一不可约多项式， $e_i\ge1$ 。定义 $V_i=\ker q_i(T)$ 。则

V=\bigoplus_{i=1}^r V_i,

是 $T$ -不变子空间的直和，并且 $T|_{V_i}$ 的极小多项式恰为 $q_i$ 。

更重要的是，每个分量可用同一个多项式公式取出。令 $M_i=m_T/q_i$ ，用互素性求出

s_iM_i+t_iq_i=1,\qquad P_i=s_i(T)M_i(T).

这些算子满足

P_i^2=P_i,\qquad P_iP_j=0\ (i\ne j),\qquad \sum_iP_i=I,\qquad \operatorname{im}P_i=V_i.

因此任意 $v$ 的唯一分解就是 $v=\sum_iP_iv$ 。多项式 $s_i$ 的选择可以不同，代入 $T$ 后的投影却相同。

为什么四项投影恒等式同时成立

记 $e_i=s_iM_i$ 。它模 $q_i$ 为 $1$ ，模其他 $q_j$ 为 $0$ 。中国剩余定理于是说明 $e_i^2-e_i$ 、 $e_ie_j$ 和 $\sum_ie_i-1$ 都被 $m_T$ 整除，代入算子便得到上述恒等式。

又因 $q_ie_i=s_im_T$ ，有 $q_i(T)P_i=0$ ，所以 $\operatorname{im}P_i\subseteq V_i$ 。反过来，若 $w\in V_i$ ，由 $e_i=1-t_iq_i$ 得 $P_iw=w$ ，故两者相等。各 $P_i$ 都是 $T$ 的多项式，因而与 $T$ 交换，像空间不变。若 $\sum_iw_i=0$ 且 $w_i\in V_i$ ，作用 $P_j$ 得 $w_j=0$ ，这证明直和性。

限制极小多项式 $a_i$ 整除 $q_i$ 。若某个 $a_i$ 是真因子，则 $a_i\prod_{j\ne i}q_j$ 在每个 $V_j$ 上都为零，故在全空间为零，次数却低于 $m_T$ ，矛盾。所以 $a_i=q_i$ 。投影唯一性也来自直和：它必须在第 $i$ 个分量上是恒等，在其他分量上为零。

直觉

互素因子像几种可以分开的代数信号。Bézout 多项式在目标因子处取余为 $1$ ，在其余因子处取余为 $0$ ；把变量换成算子，就得到“保留这一分量、消去其余分量”的开关。

这里的投影是代数投影，并没有预先指定长度和夹角。它们不一定是正交投影。即使各分量唯一，分量内部的基仍然不唯一；主分解也还没有把同一个不可约因子内部的全部循环块分清。

例子与边界

不可约二次因子与一个有理根怎样分开

在 $\mathbb Q^3$ 上取

A=\begin{pmatrix}0&0&2\\1&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}.

$e_1,Ae_1,A^2e_1=e_3$ 是标准基，所以它是 $m=(x^2+1)(x-2)=x^3-2x^2+x-2$ 的伴随矩阵。令 $q_1=x^2+1$ 、 $q_2=x-2$ ，可取

e_2(x)=\frac{x^2+1}{5},\qquad e_1(x)=\frac{4-x^2}{5}.

这里 $e_2\equiv1\pmod{x-2}$ ，且 $e_1\equiv1\pmod{x^2+1}$ 。计算中间量

A^2+I= \begin{pmatrix}1&2&4\\0&0&0\\1&2&4\end{pmatrix}, \qquad P_2=\frac15(A^2+I),\qquad P_1=I-P_2.

于是

P_2e_1=\frac15(1,0,1)^T,\qquad P_1e_1=\frac15(4,0,-1)^T.

第一分量满足 $A(1,0,1)^T=2(1,0,1)^T$ ；第二分量 $w=(4,0,-1)^T$ 满足 $Aw=(-2,5,-2)^T$ 、 $A^2w=-w$ 。两部分相加恢复 $e_1$ ，整个过程只用了有理数。

$P_2$ 不是对称矩阵，因此不是标准内积下的正交投影。它依然幂等：记 $u=(1,0,1)^T$ 、 $a=(1,2,4)^T$ ，则 $P_2=ua^T/5$ ，而 $a^Tu=5$ ，所以 $P_2^2=P_2$ 。

不能把同一因子的幂硬拆开

若 $m_T=(x-1)^2$ ，不能把两个 $x-1$ 当成互素因子应用本定理。二阶 Jordan 剪切只有一条特征直线，不存在两个特征直线的直和。Bézout 方程无解正好暴露了这个障碍。

本页也不同于交换代数中理想的准素分解：这里分解的是向量空间，使用互素多项式得到直和；一般理想的准素分解是交分解，不能直接套用这些投影公式。

推论与应用

若另一个算子 $S$ 与 $T$ 交换，它就与所有 $P_i$ 交换，故保持每个 $V_i$ 。这说明主分量不是选择坐标后的偶然块，而是由 $T$ 本身确定的结构。

多项式分裂时， $p_i=x-\lambda_i$ ，主分量就是广义特征空间。留在原域时，先按不可约因子计算投影，再进入有理标准形，可以避免为分类而强行扩域求根。

参考资料

Anthony W. Knapp，Basic Algebra, Digital Second Edition，§V.5、Theorem 5.19：算子的主分解及多项式投影。
E. V. Flynn，Linear Algebra 6: The Primary Decomposition：互素消去因子的分解及投影问题。

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不可约二次因子与一个有理根怎样分开 ​

不能把同一因子的幂硬拆开 ​

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不能把同一因子的幂硬拆开