不变因子与有理标准形

形式陈述 ​

不知道特征值，仍能完整判断相似吗 ​

设 $A\in F^{n\times n}$，$n\ge 1$。存在唯一一列首一、次数为正的多项式

使 $A$ 经换基理路换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。相似于

其中 $C(f)$ 是列约定的伴随矩阵理路循环子空间与伴随矩阵Cyclic subspace and companion matrix · Cyclic vector · Polynomial companion matrix把一个向量的精确幂递推表示为多项式商模和伴随矩阵，给出列向量约定下的换基证书。。$f_i$ 称为不变因子，$R$ 称为有理标准形。“有理”表示构造只需底域运算，并不要求 $F=\mathbb{Q}$。

两个同阶矩阵在 $F$ 上相似，当且仅当这列不变因子相同。若 $P$ 的列是上述循环块基，则

是可直接复核的完整证书。只列出 $R$ 而没有给出可逆换基，并不等于已经验证某个具体输入的分类。

模结构怎样变成矩阵分类 ​

在 $F^n$ 上令 $x\cdot v=Av$，得到 $F[x]$-模 $V_A$。标准向量空间基也生成这个模；极小多项式消去全部向量，所以它是有限生成挠模。应用PID 模结构定理理路PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。，得到

每个商模的幂基成为一个伴随块，组合各块基便给出 $P$。没有自由 $F[x]$ 部分，因为一个非零自由副本作为 $F$-向量空间是无限维的。

一个 $F$-线性同构 $P:V_R\to V_A$ 是模同构，恰好要求它与 $x$ 的作用相容，即 $AP=PR$。因此模同构与矩阵相似完全对应，模结构定理的唯一性才真正成为相似类的唯一性。

各块的特征多项式理路特征多项式Characteristic polynomial由 det(λI−T) 定义并编码线性算子特征值的多项式。为 $f_i$，而消去全部块的最低首一多项式是它们的最小公倍式，故

首尾信息不能一般恢复中间分配，这正是必须保留整列不变因子的原因。

从输入矩阵怎样计算不变因子 ​

矩阵 $xI-A$ 是 $V_A$ 的一个关系矩阵。具体地，把多项式列 $g(x)=\sum _k{x}^k{v}_k$ 送到 $\sum _k{A}^k{v}_k$；映射满射，并把 $(xI-A)h$ 送到零。反过来，逐项使用 $xv\equiv Av(\mathrm{mod}(xI-A)F[x{]}^n)$，每个 $g$ 都等价于它的求值常向量，核因此恰为这组关系。

对 $xI-A$ 计算Smith 形理路PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。，删除单位对角元后，剩余首一因子就是 $f_i$。这里的左右变换是多项式矩阵等价，不能把某一个 Smith 左因子直接当作常矩阵 $P$。恢复 $P$ 要把商模生成元映回 $V_A$，再展开各自的幂轨道；也可以直接提出循环向量后检查 $AP=PR$。