二次型

双线性形式比较两个方向，二次型只观察一个方向与自身配对后的值。它可以理解为一种“方向能量”：把向量放大 $a$ 倍，能量放大 $a^2$ 倍；把两个方向相加后新增的交叉项，则由极化揭示它们的相互作用。

换基保留二次型的值，却会改变系数矩阵。例如实数上的 $Q(x)=x^2$，在坐标 $x=2y$ 下写成 $4y^2$：矩阵从 $(1)$ 变成 $(4)$，正定性保持。在特征不为 $2$ 时，对称表示矩阵的秩也保持；实数上的正、负、零方向数进一步给出惯性指数。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上，$Q(x,y)=x^2-y^2$ 的矩阵是 $\mathrm{diag}(1,-1)$。它同时取正值与负值，也会在非零向量上取零，例如 $Q(1,1)=0$；几何上，方程 $Q(x,y)=c$ 随 $c$ 的符号给出不同方向的双曲线。另一个例子

对应秩为 $1$ 的矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，其核是直线 $x+y=0$。前者的零值来自正负项抵消，后者的零方向则属于整个配对矩阵的核，这区分了不定性与退化性。

在特征 $2$ 中，平方项的极化为零，因为 $(x+x^{\prime }{)}^2=x^2+x^{\prime 2}$。例如 ${\mathbb{F}}_2^2$ 上的 $Q(x,y)=x^2+xy+y^2$ 与 $Q^{\prime }(x,y)=xy$ 都极化为 $x{y}^{\prime }+x^{\prime }y$，但 $Q(1,0)=1$、$Q^{\prime }(1,0)=0$，所以极化保留的信息不足以恢复二次型。

复数上的长度使用 Hermitian 形式 $x^{\ast }Ax$。复双线性二次型则满足 $Q(iv)=-Q(v)$，非零向量的值会随乘以 $i$ 而翻转，无法全部作为正的平方长度。

在实数域上，对称矩阵的谱定理理路有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。可把二次型正交对角化，从而用正、负、零平方项的数量描述其惯性；Sylvester 惯性定律理路Sylvester 惯性定律Sylvester law of inertia · Inertia under congruence用最大正负子空间的维数证明实对称二次型的合同分类，给出配方换基并区分零值向量与核。用最大正、负定子空间的维数证明这些数量不依赖所选基，并给出配方得到的合同证书。二次型由此组织圆锥曲线与二次曲面的分类，也刻画临界点附近 Hessian 所给的二阶变化。

在几何中，Riemann 度量理路Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。逐点给切向量赋予正定二次能量。优化中的 Hessian 给出增量 $h$ 的二阶项 $\frac{1}{2}{h}^{\mathsf{T}}{\mathrm{\nabla }}^{2}f(x)h$；实最小二乘目标展开后，其二次项为 $x^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}Ax$，把曲率与矩阵的正定性联系起来。

箭图的 Euler 二次型理路箭图的 Euler 双线性型Euler form of a quiver · Tits quadratic form由顶点未知数减箭头方程建立Euler型，以参数族说明信息边界，并完成区间、End–Ext与非零扩张的三方验算。则由顶点平方和减去每条箭两端的乘积给出。对有限无环且无附加路径关系的箭图，它在维数向量上的值等于该表示的 End 维数减去自 Ext¹ 维数；同一个二次型值可以对应可分解或不可分解表示，不能单独代替矩阵分类。