准素分解

取根只能看到底层几何有哪些不可约分支，准素分解还保留分支上的幂零厚度，以及埋在分支内部更小集合上的结构。根集合的唯一性说明“额外结构出现在哪里”是内在的；嵌入分量不唯一则说明“怎样把厚度分配给局部方程”可能有多种选择。

即使只有一条几何直线，也可能需要两个准素分量。下面的例子没有第二条直线，却有一个被普通零点集合隐藏的原点分量。

完整核验 $(x^2,xy)$ 的分解 ​

在 $R=k[x,y]$ 中，令

显然 $I\subseteq Q_1\cap Q_2$。反过来，若 $f\in Q_1\cap Q_2$，可写

模 $(x)$ 后，$0=y\overline{b}$ 在整环 $k[y]$ 中成立，所以 $\overline{b}=0$，即 $b=xc$。因此

从而

$Q_1$ 本身素；$R/Q_2\cong k[x]/(x^2)$ 中所有零因子幂零，所以 $Q_2$ 是 $(x,y)$-准素。两个根为 $(x)$ 和 $(x,y)$，不同；$x\in Q_1\setminus I$、$y\in Q_2\setminus I$，说明任一分量都不能删去。因此这是最小准素分解。

但还有另一种最小分解：

因为 $(x,y{)}^2=(x^2,xy,y^2)$，其中又能被 $x$ 整除的单项式恰由 $x^2,xy$ 生成。两个嵌入分量 $(x^2,y)$ 与 $(x,y{)}^2$ 并不相同：前者含 $y$，后者不含。根集合却完全一样。

Noether 性在哪里发挥作用 ​

称理想不可约，是指它不能写成两个严格更大理想的交。若某个理想不能有限交分解为不可约理想，Noether 升链条件允许在所有坏例子中选一个极大者 $I$。它本身必可约，写作 $I=J\cap K$，其中 $J,K$ 严格更大；极大性保证 $J,K$ 都有有限分解，合并又给 $I$ 的有限分解，矛盾。

还需证明 Noether 环中的不可约理想是准素。取商后，只需研究零理想不可约的环。若 $ab=0$、$a\ne 0$，考虑升链

它在某个 $n$ 后稳定。若 $z\in (a)\cap (b^n)$，写成 $z=ra=s{b}^n$，则 $bz=0$，所以 $s{b}^{n+1}=0$；稳定性推出 $s{b}^n=0$，即 $z=0$。因此 $(a)\cap (b^n)=0$。零理想不可约且 $(a)\ne 0$，迫使 $(b^n)=0$。这正是准素条件。

这两步合起来证明存在性。它们依赖升链终止，却不自动给出对任意输入多项式理想高效的分解算法；存在定理与计算复杂度应分开。

伴随素理想公理库伴随素理想Associated prime用非零模元素的素零化子定义伴随素理想，计算线与嵌入点，并证明所有零因子恰由这些素理想覆盖。提供不依赖分解选择的描述。在本例中，$\overline{y}$ 的零化子为 $(x)$，$\overline{x}$ 的零化子为 $(x,y)$，直接暴露极小分支与嵌入点。

局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。可筛掉不经过所选位置的分量。例如在 $(x)$ 处局部化，$y$ 成为单位，因此 $I_{(x)}=(x)$，嵌入原点分量消失；把这个理想缩回 $R$，恢复唯一的极小准素分量 $(x)$。这解释为什么极小分量的唯一性较强，而嵌入分量有选择余地。