伴随素理想

模元素有时只在某些位置“存活”。一个元素的零化子列出哪些环元素会杀死它；如果这个零化子恰好素，它就在模内部识别出一份完整的 $R/\mathfrak{p}$。

只看整个模的零化子通常不够。不同元素可能被不同关系杀死，某个小的子模还可能集中在一个大分支内部的点上。伴随素理想将这些容易藏起来的零因子来源逐个列出。

在 $(x^2,xy)$ 中找出两个证人 ​

令 $S=k[x,y]$、$M=S/(x^2,xy)$。模中每个元素唯一写成

因为所有 $x^2$ 项及 $xy$ 项都为零。

先看 $\overline{x}\ne 0$。多项式 $r$ 乘上 $\overline{x}$，只留下 $r$ 的常数项乘 $\overline{x}$，所以

再看 $\overline{y}\ne 0$。若 $r\overline{y}=0$，写 $r=f(y)+xg(x,y)$，则乘积模掉理想后为 $yf(y)$；整环 $k[y]$ 中它为零只能是 $f=0$。因此

两个素理想都实际出现了：$(x)$ 描述直线，$(x,y)$ 描述嵌入其中的原点。

最小准素分解公理库准素分解Primary decomposition · Lasker-Noether theoremNoether 理想可有限交分解为准素分量；证明存在性的机制，并完整核验带嵌入分量的两个不同最小分解。

进一步保证没有其他伴随素理想，故

这不是说底层零点集合多了一个新的不可约分支；原点已经在直线上，却在模中携带额外的零化结构。

一个更简单的整数模 ​

取 $M=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$。元素 $\overline{6}$ 的零化子是 $(2)$，因为 $6r$ 被 $12$ 整除恰当且仅当 $r$ 偶；元素 $\overline{4}$ 的零化子是 $(3)$。由 $12=4\cdot 3$ 的准素分解可知

但元素 $\overline{1}$ 的零化子是 $(12)$，不是素理想。伴随素理想并非“所有零化子”，只有其中为素的那些才计入。

为什么一定能找到素零化子 ​

在 Noether 环上，对非零模 $M$，从所有非零元素的零化子中选一个极大者 $I=\mathrm{Ann}(m)$。若 $ab\in I$ 而 $b\notin I$，则 $bm\ne 0$，且

极大性迫使 $\mathrm{Ann}(bm)=I$，所以 $a\in I$。这证明 $I$ 为素，因而伴随素理想存在。Noether 条件在选择极大零化子时提供升链终止。

零因子等于伴随素理想的并 ​

这里“$M$ 上的零因子”指杀死某个非零模元素的环元素，允许该环元素为 $0$；这是相对于 $M$ 的作用而言。若 $r\in \mathfrak{p}=\mathrm{Ann}(m)$ 且 $m\ne 0$，则 $r$ 正是这样的零因子。反过来，若 $r$ 杀死某个非零元素，子模

非零。在 $N$ 中选一个素零化子 $\mathfrak{p}$，它也属于 ${\mathrm{Ass}}_R(M)$，并且含 $r$。所以在 Noether 环上

本例的并为 $(x,y)$，因此任意常数项为零的多项式都在 $M$ 上是零因子，而 $1+y$ 不是。极小素理想 $(x)$ 单独不能解释 $y$ 为什么是零因子；嵌入素理想补齐了这部分信息。

在局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 上，若有限非零模的伴随素理想中出现 $\mathfrak{m}$，则极大理想里没有任何元素能作为正则序列的第一项。模深度公理库模的深度Depth of a module局部环中有限模的正则序列最大长度定义深度，以光滑点、节点与嵌入点完整比较深度和支撑维数。把这一障碍记为深度零，连接到下一步的局部结构研究。