正则序列

第一个元素施加一个约束，第二个元素必须在施加完第一个约束后仍然有效。若一个元素在此前的商模中已变成零，或者杀死了本来非零的部分，它就不能算作一个新的正则方向。

因此这是一种逐层条件。只在原环中检查每个元素都非零，甚至各自都不是零因子，仍不足以保证整列正则。定义特意在每一步更新商模，就是为了检测约束之间的依赖。

多项式变量给出完整模型 ​

在 $R=k[x,y]$ 上，$x$ 不是零因子，因为 $R$ 是整环。模掉 $x$ 后，$R/(x)\cong k[y]$，而 $y$ 在其中也不是零因子。最终商 $R/(x,y)\cong k\ne 0$，所以 $(x,y)$ 是正则序列。

但 $(x,xy)$ 不是正则序列。虽然 $x$ 与 $xy$ 在原整环中都不是零因子，第二步中 $xy$ 在 $R/(x)$ 已成为零，而这个商模非零。乘以零当然不单射。它说明“每项单独好”与“依次取商仍好”不同。

也不能加入单位来无限延长序列。乘以 $1$ 在任何模上都单射，但 $M/1M=0$，违反最终商非零条件。因此单元素列 $(1)$ 不被视为正则序列。

有零因子的环仍可能有正则方向 ​

令

$\overline{x}$、$\overline{y}$ 都是零因子，但 $\overline{x}+\overline{y}$ 不是。先在 $k[x,y]/(xy)$ 中检查：每个元素可唯一写成

与 $x+y$ 相乘后，由 $xy=0$ 得

若它为零，分别比较 $x$ 的幂与 $y$ 的幂，得到 $c=f=g=0$。局部化保持这个乘法单射，所以在 $A$ 中仍为非零因子。

模去 $x+y$ 后，令 $y=-x$，原关系变成 $x^2=0$，得到

因此单元素列 $(x+y)$ 在 $A$ 上正则。约束可以跨越两个分支，不能因为环不是整环就断言深度必为零。

为什么局部假设有帮助 ​

对有限模及位于极大理想中的序列，Noether 局部条件保证正则序列可任意换序。这是一个定理，而非定义自带的对称性。离开这种情形，顺序确实可能影响结论。

例如令 $R=k[x,y]$，$M=R\oplus R/(x-1)$。乘以 $x$ 在第一分量上单射，在第二分量上等于乘以 $1$，所以仍单射；取商后

元素 $(1-x)y$ 在这个商中变为 $y$，且最终商为 $k$，所以 $(x,(1-x)y)$ 是 $M$-正则序列。但若把 $(1-x)y$ 放在第一位，它会杀死整个非零第二分量，立刻失败。局部环境中不允许第一步以一个单位把隐藏分量直接消掉。

每个正则步骤给出短正合列

其中 $M_i=M/(x_1,\dots ,x_i)M$。这个形式是深度递减、维数比较与自由分解构造的共同入口。

Koszul 复形公理库Koszul 复形Koszul complex用外代数把一列乘法关系组织成链复形，逐项计算正则序列和重复元素的同调，并解释正合性如何检测正则。把整列元素的乘法关系放入一个链复形；正则性会使所有正次数同调消失。深度公理库模的深度Depth of a module局部环中有限模的正则序列最大长度定义深度，以光滑点、节点与嵌入点完整比较深度和支撑维数。则问极大理想中最多能走多少个这样的步骤。两者使用同一逐次非零因子条件，但分别强调同调检测与长度不变量。