模的深度

维数问几何上还能沿多少层素理想向下细分，深度问在极大理想中还能连续选多少个不会制造额外零因子的约束。几何方向存在，并不保证每一个方向都能正则地切下去；嵌入分量会让某些方向一开始就被堵住。

一次成功的正则切割使问题下降一层。如果 $x\in \mathfrak{m}$ 在 $M$ 上是非零因子，则

右侧不能仅从定义的“最大值”直接读出，还需正则序列延长或同调刻画的定理；它确保不同第一步最终得到同一个深度。

光滑二维局部模型：深度二 ​

取 $R=k[x,y{]}_{(x,y)}$、$M=R$。先模 $x$ 得到 $k[y{]}_{(y)}$，再模 $y$ 得到 $k$；每一步乘法单射，故 $(x,y)$ 为正则序列，深度至少为二。另一方面 $\dim R=2$，深度不能超过维数，因此

这里需要上界才能把“找到长度二”升级为“最大长度恰为二”。

两条线的交点：有零因子但深度一 ​

取 $A=k[x,y{]}_{(x,y)}/(xy)$。两个极小素理想为 $(\overline{x})$ 和 $(\overline{y})$，每个分支是一维，所以 $\dim A=1$。元素 $\overline{x}+\overline{y}$ 是非零因子，理由可用逐项多项式计算，也可由它避开两个伴随素理想得出。于是深度至少为一，再由维数上界得到

取商 $A/(x+y)\cong k[x{]}_{(x)}/(x^2)$，其中极大理想的每个元素都杀死某个非零元素，没有第二个正则步骤。零因子存在，并不强迫深度为零。

一条线加嵌入点：深度零 ​

令

其根理想为 $(x)$，所以 $\dim B=1$。但 $\overline{x}\ne 0$，而极大理想 $\mathfrak{n}=(\overline{x},\overline{y})$ 的每个元素都杀死 $\overline{x}$。因此没有任何极大理想元素能作为正则序列第一项，得到

几何底层仍是一条线，深度却检测到藏在原点的额外结构。这也是本单元准素分解例子进入局部结构后的含义。

再取二维环境环 $R=k[x,y{]}_{(x,y)}$ 的剩余域模 $M=k$。它的深度是零，支撑维数也为零；与 $\dim R=2$ 比较虽然得到严格不等式，却不说明该模在自己的支撑上出了问题。

深度零如何用伴随素理想识别 ​

对这里的有限非零模，

若 $\mathfrak{m}$ 是某个非零元素的零化子，任何候选第一项都会杀死它，深度显然为零。反过来，若深度零，极大理想全由零因子组成；零因子为有限个伴随素理想之并公理库伴随素理想Associated prime用非零模元素的素零化子定义伴随素理想，计算线与嵌入点，并证明所有零因子恰由这些素理想覆盖。，再用有限素理想回避引理，得到 $\mathfrak{m}$ 包含在某个伴随素理想中。它已经极大，故二者相等。

这个判据给出实际流程：先算伴随素理想，检查极大理想是否出现；若未出现，选一个避开它们的元素作正则切割，再研究商模。它不是在任意表示的环上自动高效的算法，因为算伴随素理想本身可能困难。

当 $\mathrm{depth}R=\dim R$ 时，局部环称为 Cohen–Macaulay 环公理库Cohen–Macaulay 环Cohen-Macaulay ring深度等于维数时，参数系恰好形成正则序列；通过节点、幂零厚线与嵌入点区分 Cohen–Macaulay、正则和约化。。上面的节点环 $A$ 达到这个等号，嵌入点环 $B$ 没有；这比仅问“是否有零因子”更细致。