Cohen–Macaulay 环

参数系从维数角度说“这些方程已经把附近结构压到一个零维点”；正则序列从零因子角度说“每个方程都真正施加了一个新的约束”。CM 条件使这两种判断一致。

它并不要求所有局部方向像 Euclidean 坐标一样自由，也不排除零因子或幂零厚度。CM 更精确地保证：只要一组参数按应有速度降低维数，就不会在中途遇到隐藏的零因子障碍。

节点是 CM，却不是光滑点 ​

令 $A=k[x,y{]}_{(x,y)}/(xy)$。底层为两条相交的线，维数为一。$x+y$ 不属于两个分支素理想 $(x)$、$(y)$，并且可直接验证它不是零因子。取商后

是零维非零环，因此 $x+y$ 是正则参数，$\mathrm{depth}A=1=\dim A$。

但极大理想 $(\overline{x},\overline{y})$ 仍需要两个生成元：关系 $xy$ 没有一次项，所以 $\overline{x},\overline{y}$ 在 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 中线性无关。嵌入维数为二，大于实际维数一，因此它不是正则局部环公理库正则局部环Regular local ring比较极大理想的一阶生成元数与 Krull 维数来定义正则性；用抛物线和尖点计算嵌入维数，并说明基域条件。。CM 与无奇点不能互换。

幂零厚线也可以是 CM ​

取 $C=k[x,y{]}_{(x,y)}/(x^2)$。它有非零幂零元 $\overline{x}$，所以不是约化环；但每个元素可以按 $x$ 唯一写成 $f(y)+xg(y)$，其中 $f,g\in k[y{]}_{(y)}$；乘以 $y$ 单射，因此 $y$ 是正则元素。商 $C/(y)\cong k[x]/(x^2)$ 零维，故 $C$ 是一维 CM 环。

再看零维 Noether 局部环本身：深度上界就是零，空序列达到零，因此它总是 CM。双数环 $k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ 是最小例子，表明 CM 条件允许幂零元。

嵌入点让参数失去正则性 ​

令 $B=k[x,y{]}_{(x,y)}/(x^2,xy)$。它仍一维，$y$ 也是参数，因为 $B/(y)\cong k[x]/(x^2)$ 零维。但 $y$ 杀死非零 $\overline{x}$，所以不是正则元素；事实上极大理想的每个元素都杀死 $\overline{x}$，深度为零。于是 $B$ 不是 CM。

这个例子具体否定了“降到零维就自动正则”。参数系判据的前提正是待研究环的 CM 性，不能在任意局部环里循环使用。

参数为何不会遇到零因子 ​

CM 局部环的伴随素理想都是极小分支，且相应商环具有原来的维数 $d$。若参数第一项落入其中一个伴随素理想，它就在那条 $d$ 维分支上完全失效；剩下 $d-1$ 个参数按高度定理不可能把这条分支压到零维。因此第一项必避开全部零因子。

模去它以后，维数与深度都降低一，商环仍 CM。对余下参数归纳，就得到整列正则。这条证明路线说明参数判据背后用到了伴随素理想公理库伴随素理想Associated prime用非零模元素的素零化子定义伴随素理想，计算线与嵌入点，并证明所有零因子恰由这些素理想覆盖。、维数下降和正则切割，而不只是形式上的两个整数相等。

若 $R$ CM 且 $f\in \mathfrak{m}$ 不是零因子，则 $R/(f)$ 仍 CM，维数降低一。特别地，正则局部环模去一列正则序列公理库正则序列Regular sequence逐次在商模上检查非零因子得到正则序列，展示独立约束、单位排除条件，以及非局部环境中的顺序风险。得到的局部完全交环一定 CM；节点和厚线都是这种简单超曲面例子。反过来，并非每个 CM 环都可由正则局部环模正则序列得到。

在有限模的局部计算中，CM 性还可通过极大理想完备化检查。这个保持性质需要 Noether 条件，具体接口见 理想进完备化公理库I-adic 完备化Adic completion · I-adic completion把模 I 的逐阶兼容近似组成逆极限，计算形式幂级数和 5 进逆元，并说明 Noether 有限性下的正合与忠实平坦条件。。