正则局部环

$\mathfrak{m}$ 是在所选点消失的函数，${\mathfrak{m}}^2$ 则由至少二阶的乘积组成。商 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 只保留一次变化；它的对偶是该点的 Zariski 切空间。

实际维数数出局部几何需要多少参数，一阶维数数出线性近似看到了多少方向。正则性要求这两个数恰好相等。如果方程只有二次、三次项，一阶近似可能没有看见约束，切空间便比真正的局部空间更大。

抛物线原点：两坐标中只有一个自由方向 ​

取

关系允许消去 $y$，给出 $A\cong k[x{]}_{(x)}$，所以实际维数为一。极大理想满足 $\mathfrak{m}=(x,y)=(x)$，因为 $y=x^2$；模 ${\mathfrak{m}}^2$ 后 $y$ 变为零，而 $x$ 仍非零。因此

它是正则局部环。原先写了两个坐标，并不意味着切空间必为二维，关键在方程的一次部分。

尖点原点：线性近似漏掉了约束 ​

取

可把它看作 $k[t^2,t^3]$ 在 $(t^2,t^3)$ 处的局部环，因此是一维整环。极大理想由 $x=t^2$、$y=t^3$ 生成，而 ${\mathfrak{m}}^2$ 中元素的最低 $t$ 次数至少为四。因此任何系数不全为零的 $k$-线性组合 $ax+by$ 都不落入 ${\mathfrak{m}}^2$，得到

故尖点局部环不正则。它却是 CM：一维整环中任何非零非单位都是非零因子，深度至少为一，再由维数上界得等号。

零维与非完美基域的边界 ​

域的极大理想为零，所以维数与嵌入维数都是零，是正则局部环。双数环 $k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ 则维数零、嵌入维数一，不正则；它仍是零维 CM 环。

“正则”是环自身的性质，“在 $k$ 上光滑”还涉及基域。若 $k={\mathbb{F}}_p(s)$，则 $K=k[u]/(u^p-s)$ 是域，因而正则。但在代数闭包上，方程变成 $(u-\sqrt[p]{s}{)}^p$，出现幂零厚度，所以 $\mathrm{Spec}K$ 在 $k$ 上不光滑。把正则与光滑等同，需要有限型、完美基域等相应条件。

正则性的一个深层解释是关联分次环公理库分次环与齐次理想Graded ring · Homogeneous ideal通过二次关系逐层算维数，说明齐次理想何以允许商分次，并区分齐次局部化与零次比例环。

同构于 $k[X_1,\dots ,X_d]$。极大理想最小生成元给出从这个多项式环到分次环的满射，维数理论在正则情形迫使没有额外关系。配合 Krull 交定理，这也证明 $R$ 没有非零零因子：两个非零元素的最低阶项在多项式环中相乘不可能为零。

Nakayama 引理公理库Nakayama 引理Nakayama's lemma用 Jacobson 根或局部环极大理想控制有限生成模的消失与生成元提升的引理。让一阶线性代数控制实际生成元，CM 性公理库Cohen–Macaulay 环Cohen-Macaulay ring深度等于维数时，参数系恰好形成正则序列；通过节点、幂零厚线与嵌入点区分 Cohen–Macaulay、正则和约化。则说明这些最小参数能够逐次正则切割。二者加在一起，比单纯检查某个方程的梯度更适用于一般局部环。