Koszul 复形

一条关系 $x_1{a}_1+\cdots +x_r{a}_r=0$ 是一次循环。最显然的关系来自交换律，例如 $x_i(-x_j)+x_j{x}_i=0$；二次项将这些关系作为边界。更高外幂继续记录“关系之间的关系”。

正则序列的含义是逐个约束没有暗中杀死额外部分，Koszul 同调把这种失败统一放进高次位置。复形总能构造出来，只有满足适当正则条件时它才是商模的无多余同调分解。

两个元素的矩阵全部写出 ​

对 $x,y\in R$，复形为

其中

因为 $x(-yc)+y(xc)=0$，矩阵乘积确实为零。这里采用基 $e_1\wedge e_2$，所以符号与一般公式一致。

在 $R=k[x,y]$ 中，若 $xa+yb=0$，则 $x$ 整除 $yb$。$x,y$ 互素，所以 $b=xc$，代回得 $a=-yc$。因此 $\ker d_1=\mathrm{im}{d}_2$。又因 $R$ 为整环，$d_2(c)=0$ 迫使 $c=0$。所以

加上最后的商映射，就得到 $k$ 的自由分解。正合性在这里已经逐项验证，不只是从“变量很独立”猜测。

重复元素会留下什么 ​

改取 $R=k[x]$，研究序列 $(x,x)$。现在

$R$ 为整环，所以一次循环恰为 $(a,-a)$；边界则为 $(-xc,xc)$。因此

由 $(1,-1)$ 的类生成。仍有 $H_2=0$，而 $H_0=R/(x)$。第二个 $x$ 没有提供新约束，在模去第一个 $x$ 后已经变成零；非零的一次同调正好检测到这种冗余。

顶次同调检测共同零化子 ​

对两个元素作用于 $M$，顶次同调为

例如 $M=k[x,y{]}_{(x,y)}/(x^2,xy)$ 中的 $\overline{x}$ 同时被 $x,y$ 杀死，所以顶次同调非零。嵌入点导致深度零这一现象，在复形顶端变成一个可直接写下的循环。

若 $x_1,\dots ,x_r$ 是 $M$-正则序列公理库正则序列Regular sequence逐次在商模上检查非零因子得到正则序列，展示独立约束、单位排除条件，以及非局部环境中的顺序风险。，则 $H_q(K(x;M))=0$ 对所有 $q>0$。证明可按长度归纳：添一个元素相当于把原复形与两项复形 $[R\stackrel{x_r}{\to }R]$ 张量，也即乘以 $x_r$ 的链映射的映射锥公理库导出范畴与移位态射Derived category · Quasi-isomorphism · Mapping cone · 导出范畴 · 拟同构 · 映射锥以明确的上链移位约定构造映射锥，证明拟同构等价于锥无同调，再证明有界上方投射复形可直接计算导出态射，完成 HomD(Z/2,Z[1])=Z/2。；与该页的上链公式比较时，须先按 $K^n=K_{-n}$ 转换编号。前一复形只有零次同调，新的正次数同调便由 $x_r$ 在前一商模上的核控制；正则性使这个核为零。

反方向需要条件。在 Noether 局部环上，若 $M$ 有限非零且所有 $x_i$ 都在极大理想里，正次数 Koszul 同调全部消失当且仅当该序列正则。去掉最终商非零等要求，单位元素的复形会正合，但它不符合本单元的正则序列定义。

对系数为非零环 $R$ 的 $K_{\bullet }(x;R)$，第 $q$ 项自由秩为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{q})$，总秩为 $2^r$。一般的 $K_q(x;M)$ 则同构于 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{q})$ 份 $M$ 的直和，不一定是自由模。因而即使只展开自由系数的标准坐标，整个复形的大小也随序列长度指数增长；实际计算常利用短序列、稀疏结构或理论消失结论，而不是不加区分地构造全部矩阵。