I-adic 完备化

模 $I$ 只观察最粗的一层，模 $I^2$ 再多一层精度，依此类推。完备化保留所有相容的有限精度观测。相容性要求高精度答案投影后与低精度答案一致，不能把各层任意选一个余类就称为完备元素。

这里的接近由差是否落入高次理想决定，不由普通绝对值决定。例如 $x^n$ 在 $x$-adic 意义下趋向零，与把 $x$ 代入某个实数后幂是否收敛无关。

从多项式到形式幂级数 ​

取 $R=k[x]$、$I=(x)$。模 $x^n$ 的余类有唯一代表

兼容性意味着升高 $n$ 时旧系数不变，只增加新系数。因此

这里的形式幂级数公理库形式幂级数Formal power series以系数序列为本体并按 Cauchy 卷积运算、不预设解析收敛的无穷级数。不是任意无限求和的分析极限，而是每个有限截断都已确定的代数对象。

例如 $s_n=1+x+\cdots +x^{n-1}(\mathrm{mod}{x}^n)$ 相容，因为从 $n+1$ 阶降到 $n$ 阶只丢掉 $x^n$。每层满足 $(1-x)s_n=1(\mathrm{mod}{x}^n)$，于是完备环中

原多项式环中 $1-x$ 不是单位，完备后成为单位，说明完备化会改变一些全局代数性质。

逐阶求出 $2$ 在 ${\mathbb{Z}}_5$ 中的逆 ​

$\mathbb{Z}$ 对 $(5)$ 的完备化是 ${\mathbb{Z}}_5$。模 $5$ 有 $2\cdot 3\equiv 1$。把下一层写成 $3+5a$，要求

得到 $a=2$，所以逆元模 $25$ 为 $13$。再写成 $13+25b$，要求 $26+50b\equiv 1(\mathrm{mod}125)$，得 $b=2$，所以模 $125$ 为 $63$。

三个答案满足 $63\equiv 13(\mathrm{mod}25)$、$13\equiv 3(\mathrm{mod}5)$，因此给出同一完备元素的前三级信息。继续这个过程，每次解一个模 $5$ 线性方程，得到唯一兼容逆元。有限精度算法始终保持的不变量，就是 $2s_n\equiv 1(\mathrm{mod}{5}^n)$。

自然映射不一定单射 ​

令 $R=k\times k$、$I=k\times 0$。由于 $I^n=I$，所有商环都为 $k$，所以 $\hat{R}\cong k$，自然映射把整个第一因子消去。即使 $R$ Noether，也不能对任意理想宣称自然映射把原环嵌入完备化。

若 $(R,\mathfrak{m})$ Noether 局部、$M$ 有限生成且 $I\subseteq \mathfrak{m}$，Krull 交定理才保证 $\bigcap I^{n}M=0$。若再去掉理想有限生成等条件，逆极限得到的对象甚至未必对其扩张理想再次完备；熟悉的良好性质需要逐项保留假设。

在 Noether 环公理库Noether 环Noetherian ring每个理想有限生成，等价地理想升链最终稳定的环。上，$I$-adic 完备化对有限生成模的短正合列保持正合，且可用张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。表示为

证明的关键是 Artin–Rees 引理公理库Artin–Rees 引理Artin-Rees lemma有限模子模的交截滤过经过固定滞后后稳定受控；用 Rees 分次模证明公式，并给出有限生成性不能省略的反例。：子模自身的 $I$-adic 滤过与从大模继承的滤过虽然不逐项相等，却定义同一个完备化。由此可证明 $\hat{R}$ 是平坦 $R$-模公理库平坦模Flat module · Flatness张量后保留所有单射的模；以整数短正合列和局部化证明有理数模平坦但不投射。。

若 $I$ 还包含在 $R$ 的全部极大理想之交，即 Jacobson 根中，该映射忠实平坦；特别地，Noether 局部环的极大理想完备化忠实平坦。有限维代数的 Jacobson 根公理库有限维代数的 Jacobson 根Jacobson radical of a finite-dimensional algebra将所有单模看不见的操作组成Jacobson根，用组成列证明幂零性，并在上三角代数中逐次计算其幂。具有额外的幂零性；这里的一般交换环不受该有限维结论约束，例如 $k[[t]]$ 的根 $(t)$ 就不幂零。

对 Noether 局部环及其极大理想完备化，两者具有相同维数、相同深度，并同时正则或同时 CM。有限模上的局部性质因此可以转到较方便的形式幂级数环境检查。

“平坦”仍不自动等于“忠实”。对 $k[x]$ 的 $(x)$-adic 完备化，非零有限模 $k[x]/(x-1)$ 的完成为零，因为 $x$ 在这个模上已经可逆，$x^{n}M=M$。它说明完成集中在所选理想附近，可能丢掉远离该区域的分支。