Artin–Rees 引理

子模中的元素有两种变得“小”的方式：在子模内部乘 $I^n$，得到 $I^{n}N$；或者先在大模中进入 $I^{n}M$，再碰巧落回 $N$，得到 $N\cap I^{n}M$。第二种方式可能让元素比第一种更早出现。

Artin–Rees 说明这种提前程度有一个统一的有限滞后 $c$。超过它以后，后续所有交截只是在某个固定层上继续乘 $I$，不会不断冒出全新的异常行为。

计算一个恰好需要滞后的例子 ​

取 $R=k[x]$、$I=(x)$、$M=R$、$N=(x^s)$，其中 $s\ge 1$。两个主理想的交为

而

一般严格更小。取 $c=s$，则对 $n\ge s$，

恰与左边一致。

具体取 $s=3,n=5$：大模中五阶的小元素只需被 $x^5$ 整除；若要求在子模 $(x^3)$ 内再乘五次 $x$，则必须被 $x^8$ 整除。引理用滞后三阶修正这一区别，而不是把 $(x^5)$ 与 $(x^8)$ 说成相等。

去掉有限生成性，统一常数会失败 ​

仍取 $R=k[x]$、$I=(x)$，但令

如果存在统一的 $c$，选 $r>c$ 并取 $n=r$。在第 $r$ 个分量中，左边含 $x^r{e}_r$；右边则要求属于

而 $x^r$ 不被 $x^{2r-c}$ 整除，矛盾。每个分量单独有自己的滞后，但它们无统一上界。环仍是 Noether，失败来自大模无限生成。

用 Rees 模把所有次数一起控制 ​

引入记录次数的变量 $t$，构造分次环与分次模公理库分次环与齐次理想Graded ring · Homogeneous ideal通过二次关系逐层算维数，说明齐次理想何以允许商分次，并区分齐次局部化与零次比例环。

若 $I=(a_1,\dots ,a_s)$，则 $\mathcal{R}(I)=R[a_{1}t,\dots ,a_{s}t]$，是有限生成 $R$-代数，由Hilbert 基定理公理库Hilbert 基定理Hilbert basis theoremNoether 环上添有限多个多项式变量仍保持 Noether 性的有限生成定理。知它 Noether。$M$ 的有限个零次生成元又生成整个 ${\mathcal{R}}_I(M)$，所以它是有限模。

交截部分

是这个有限模的分次子模，因此有有限个齐次生成元。设它们的次数为 $d_j$，取 $c\ge max{d}_j$。对 $n\ge c$，任一第 $n$ 层元素都来自各 $I^{n-d_j}(I^{d_j}M\cap N)$。又有

所以每一项都落入 $I^{n-c}(I^{c}M\cap N)$。反包含由理想乘法直接成立，这就证明了公式。

证明的压缩点很明确：将无穷多层包装成一个分次子模，用 Noether 有限生成性找到有限个起始层。它并未给出只依赖生成元个数的通用小常数，也不等同于已经实现了高效求 $c$ 的算法。

同一个Rees代数还可通过Proj产生爆破公理库仿射平面的爆破Blowup of the affine plane · Blowup of the affine plane at the origin把原点替换成方向射影线，逐图计算尖点的总变换与严格变换，并证明光滑化后仍与例外曲线相切。。对 $k[x,y]$ 中的 $(x,y)$，两张图分别为 $y=xt$ 与 $x=sy$，把原点替换成方向射影线；尖点的严格变换虽变光滑，却仍与例外曲线相切。这是分次理想幂的几何用途，目标与本页控制交截滤过不同。

为什么它保证完成保持正合 ​

由公式得，对 $n\ge c$，

两套滤过相互有界地细化，所以定义同一个完备化。另一方面，每一层都有短正合列公理库短正合列Short exact sequence · Short exact extension以单态射、满态射和中间正合性把子对象、扩张对象与商对象连接起来的三项正合列。

左端的过渡映射满射，逆极限公理库极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。保留这组列的正合性；再用滤过等价替换左端，得到

因此 完备化公理库I-adic 完备化Adic completion · I-adic completion把模 I 的逐阶兼容近似组成逆极限，计算形式幂级数和 5 进逆元，并说明 Noether 有限性下的正合与忠实平坦条件。的正合性有一个具体来源：它需要先控制子模继承的拓扑，而不是把逆极限视为天然正合的操作。