线性算子的极小多项式

若 $m_T(x)=x^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_0$，代入算子就得到

因此 $T^d$ 及其后的每个幂都能化为前 $d$ 个幂的线性组合。次数的极小性表示在这之前，$I,T,\dots ,T^{d-1}$ 仍线性无关。极小多项式由此确定了整个算子所需的最短幂递推。

在 $n\ge 1$ 维空间上，恒等算子的极小多项式是 $x-1$，而特征多项式是 $(x-1{)}^n$：无论维数多大，关系 $I-I=0$ 已经控制它的全部幂。

取

作为实向量空间上的旋转算子。它满足 $A^2+I=0$，又不是标量矩阵，所以没有一次多项式能消去它，极小多项式为 $x^2+1$。将同一矩阵视为复矩阵后，极小多项式仍是 $x^2+1$，但它现在分裂为 $(x-i)(x+i)$，因此算子在复数域上可对角化。变化的是因式分解及可对角化性。

与域中代数元的极小多项式理路极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。相比，算子的极小多项式不必不可约。域中非零元素的乘积不能为零；非零算子相乘却可以成为零算子，所以同一个不可约性论证不再成立。

极小多项式记录最大的消去阶数，而特征多项式还记录总重数。例如 $\mathrm{diag}(1,1,2)$ 与 $\mathrm{diag}(1,2,2)$ 的极小多项式都是 $(x-1)(x-2)$，特征多项式却分别为 $(x-1{)}^2(x-2)$ 与 $(x-1)(x-2{)}^2$，因此不相似。

计算多项式函数 $p(T)$ 时，可以先作带余除法 $p=q{m}_T+r$，直接得到 $p(T)=r(T)$，其中 $\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}{m}_T$。Cayley–Hamilton 定理理路Cayley–Hamilton 定理Cayley–Hamilton theorem每个有限维线性算子都满足自己的特征多项式。也提供消去多项式，而极小多项式把余式所需的次数压到最低。

在Jordan 标准形理路Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。中，$(x-\lambda )$ 在 $m_T$ 中的指数等于特征值 $\lambda$ 的最大块尺寸。所有指数都为 $1$，就对应可对角化理路对角化Diagonalization在线性算子存在由特征向量构成的基时把其矩阵化为对角形。。

对固定起始向量 $v$，使 $p(T)v=0$ 的最低次首一多项式可以比 $m_T$ 更低。若其次数为 $d$，则 $v,Tv,\dots ,T^{d-1}v$ 线性无关，$T^{d}v$ 已由它们生成；这正是Krylov 子空间理路Krylov 子空间Krylov subspace从初始向量反复施加矩阵，生成只依赖矩阵—向量乘法的递增子空间及其 Arnoldi、Lanczos 正交基。停止增维的位置。在伴随坐标理路循环子空间与伴随矩阵Cyclic subspace and companion matrix · Cyclic vector · Polynomial companion matrix把一个向量的精确幂递推表示为多项式商模和伴随矩阵，给出列向量约定下的换基证书。中，这条最短向量递推成为末列系数；若有多条独立轨道，不变因子理路不变因子与有理标准形Rational canonical form · Frobenius normal form · Invariant factor form不扩域求根，以 F[x] 不变因子完整分类相似矩阵，并用循环基与 AP=PR 给出可核验的换基证书。记录其全部相似类型，补足单个极小多项式未保留的块分配。