Cayley–Hamilton 定理

特征多项式最常被介绍为寻找特征值的方程，但 Cayley–Hamilton 说明它还直接约束整个算子。当 $n\ge 1$ 时，次数达到 $n$ 后，$T^n$ 可以写成 $I,T,\dots ,T^{n-1}$ 的线性组合；再乘一个 $T$ 并反复降阶，所有更高次幂也都落在同一个有限维张成空间中。于是一个关于标量变量的行列式，变成了算子幂的统一递推关系。

“有限维必有某个多项式消去 $T$”本可由 $I,T,T^2,\dots$ 在 $\mathrm{End}(V)$ 中线性相关得到，但那只给出一个次数至多 $n^2$ 的未知关系。Cayley–Hamilton 精确指出次数为 $n$、可从矩阵计算且换基不变的 ${\chi }_T$ 一定有效。极小多项式再从所有有效关系中选出首一且次数最低的一条。

以下证明取 $n\ge 1$，从行列式的伴随矩阵恒等式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。出发。令

在 $M_n(F[t])$ 中有

比较 $t$ 的各次系数，若 ${\chi }_A(t)=t^n+c_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +c_0$，便得到

将常数项等式保留不动，将含 $c_k$ 的等式左乘 $A^k$，再将 $B_{n-1}=I$ 左乘 $A^n$。把所得等式相加，中间项逐项抵消：

这就得到 ${\chi }_A(A)=0$。

这里采用系数比较，是为了保留矩阵乘法的次序。对于矩阵系数多项式，若系数不与 $A$ 交换，把 $t$ 换成 $A$ 就未必保持乘法；因而不能直接沿用标量多项式的代入规则。上面的消去过程始终把 $A$ 乘在左侧，直接完成了证明。

对

有 ${\chi }_A(t)=(t-1{)}^2=t^2-2t+1$，所以

写成 $A=I+N$ 后有 $N^2=0$，故 $A^k=I+kN$；这与二阶递推完全一致。这个例子也表明定理不要求矩阵可对角化：非平凡 Jordan 块同样满足自己的特征多项式。

若 $n\ge 1$ 且 $A$ 可逆，则 $c_0=(-1{)}^n\det A\ne 0$。从 Cayley–Hamilton 等式中分离常数项并乘以 $A^{-1}$，可得

这个公式把逆矩阵表示为 $A$ 的多项式，适合代数推导。浮点求解 $Ax=b$ 时，LU 或 QR 分解可以直接作用于右端；显式计算上述矩阵幂则增加矩阵乘法，也会累积舍入误差。

有限维性保证了行列式给出有限次数的特征多项式。无限维空间上的算子可以没有任何非零消去多项式：例如在基 $e_0,e_1,\dots$ 上定义右移 $T(e_i)=e_{i+1}$，则非零多项式 $p$ 总使 $p(T)e_0$ 成为非零的基向量线性组合。另一方面，上述伴随矩阵证明仍适用于交换含幺环上的有限阶矩阵，因为其中没有用到除法。

将 ${\chi }_T$ 除以极小多项式 $m_T$，所得余式也消去 $T$，且次数低于 $m_T$。由极小性，余式只能为零，所以 $m_T\mid {\chi }_T$。二者记录的信息有所不同：上面的二阶 Jordan 块与单位矩阵 $I_2$ 都有特征多项式 $(t-1{)}^2$，极小多项式却分别为 $(t-1{)}^2$ 与 $t-1$。这一区别正对应 Jordan 标准形公理库Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。中最大块的大小。

对任意多项式 $p$，除以 ${\chi }_T$ 后的余式次数小于 $n$，且 $p(T)$ 等于该余式在 $T$ 处的值。因此矩阵幂、线性递推和多项式矩阵函数都能有限降阶。若已知更低次的 $m_T$，用极小多项式取余会得到更短表示；Cayley–Hamilton 给出的是始终可用的上界。

从向量 $v$ 出发的 Krylov 子空间公理库Krylov 子空间Krylov subspace从初始向量反复施加矩阵，生成只依赖矩阵—向量乘法的递增子空间及其 Arnoldi、Lanczos 正交基。由 $v,Tv,T^{2}v,\dots$ 张成。Cayley–Hamilton 保证 $T^{n}v$ 已属于前 $n$ 个向量的张成空间。若更早出现 $T^{r}v$ 是 $v,\dots ,T^{r-1}v$ 的线性组合，再对这个关系作用 $T$，后续向量也不会增加新方向；相对于 $v$ 的最短消去关系因此决定实际停止增长的位置。