广义特征空间

令 $S=T-\lambda I$，相当于从变换中去掉按 $\lambda$ 缩放的部分。普通特征向量满足 $Sv=0$，一步就归零；广义特征向量则允许多走几步，例如先被送到一个特征向量，再被送到零。这些逐级相连的方向组成 Jordan 链。

随着幂次增加，$\ker S^k$ 收集到的向量越来越多。有限维空间只能容纳有限次严格增维；一旦核链稳定，再增加幂次也不会发现新方向。最终得到的 $G_{\lambda }$ 把与这个特征值相连的整条链都保留下来。

对 Jordan 块

有 $S{e}_1=0$、$S{e}_2=e_1$。因此 $e_1$ 是普通特征向量，$e_2$ 要经过 $e_2\mapsto e_1\mapsto 0$ 两步才归零。普通特征空间只有一维，而 $S^2=0$，所以广义特征空间是整个二维空间。保留这两层，就保留了无法单靠特征向量描述的那部分变换。

底域决定哪些特征值可用。例如实矩阵 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $x^2+1$，在实数域中没有特征值，因而无法用实特征值的广义特征空间分解它。扩到复数域后，两个根 $i,-i$ 才提供相应的分解；留在实数域时，则按不可约因子 $x^2+1$ 做主分解。

每个广义特征空间都是 $T$ 的不变子空间公理库不变子空间Invariant subspace在线性算子作用下保持封闭、可被单独限制研究的子空间。，在其中选取 Jordan 链便得到相应的 Jordan 块。特征多项式完全分裂时，各个 $G_{\lambda }$ 给出整个空间的直和公理库直和Direct sum · Internal direct sum把对象组织为来自指定分量的唯一有限和；向量空间的内直和对应求和映射单射，外直和保留分量标签。分解；把它们各自由 Jordan 链组成的基合在一起，就使 $T$ 的矩阵呈Jordan 标准形公理库Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。。算子极小多项式公理库线性算子的极小多项式Minimal polynomial of an operator首一且次数最低、代入算子后为零的非零多项式。中 $(x-\lambda )$ 的指数，等于该特征值对应的最大链长。

这种链结构描述精确的相似分类。浮点扰动却可能把一个重特征值分成几个不同特征值，使链结构改变；实际谱计算常采用Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。，用酉变换保持数值计算中的几何结构。