Jordan 标准形

特征向量不足以组成基时，可以向后补成链。在一个 Jordan 块的链基 $v_1,\dots ,v_k$ 上，

第一个向量是特征向量；对后续向量，减去缩放部分后，$(T-\lambda I)v_j$ 恰好落在前一个向量上。连续作用 $j$ 次，$v_j$ 才变成零。块的长度因此记录一条链需要多少次消去。

每个块都写成 $\lambda I+N$，其中 $N$ 是向前移一格的幂零算子。把各块合起来得到 $T=D+N$，$D$ 可对角化、$N$ 幂零，且二者交换。若全部块的尺寸都是 $1$，幂零部分就是零，Jordan 形便成为对角形。

最小的例子：$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=J_2(2)$ 本身已是标准形。其特征多项式为 $(x-2{)}^2$，但解 $(T-2I)v=0$ 只得到一维解空间，几何重数 $1$ 小于代数重数 $2$，故不可对角化；极小多项式 $(x-2{)}^2$ 的指数 $2$ 正是最大块尺寸。

比较 $J_2(0)\oplus J_2(0)$ 与 $J_2(0)\oplus J_1(0)\oplus J_1(0)$：两者的特征多项式同为 $x^4$、极小多项式同为 $x^2$，但前者秩为 $2$、后者秩为 $1$，故并不相似。这两个多项式分别记录总尺寸与最大尺寸，中间的块分配还要进一步确定。

令 $d_j=\dim \ker ((T-\lambda I{)}^j)$，并取 $d_0=0$。一个尺寸为 $k$ 的 $\lambda$ 块对 $d_j$ 的贡献是 $min(j,k)$，其他特征值的块贡献为零。因此 $d_j-d_{j-1}$ 恰是尺寸至少为 $j$ 的块数；逐个取差，就能恢复全部块尺寸。块的排列及链基可以变化，这些计数始终相同。

实矩阵 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 的特征多项式 $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不分裂，所以无法在实数域中写成本页定义的 Jordan 块。扩域到 $\mathbb{C}$ 后，它对角化为 $\mathrm{diag}(i,-i)$；保持实数表示时，则使用把共轭特征值配成 $2\times 2$ 块的实标准形。

Jordan 结构可能在微小扰动下改变。把 $J_2(0)$ 的左下角改成实数 $\epsilon >0$，特征多项式就从 $x^2$ 变为 $x^2-\epsilon$，特征值分裂为 $\pm \sqrt{\epsilon }$，矩阵随即可对角化。浮点计算因此通常用Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。的正交或酉坐标表示谱结构，并由QR 算法公理库QR 特征值算法QR algorithm · Shifted QR algorithm · Francis QR algorithm先化 Hessenberg 或三对角形，再用隐式移位 QR、bulge chasing 与 deflation 计算 Schur 形和全部特征值。计算特征值；精确 Jordan 块更适合符号分析。

Jordan 形先把 $V$ 分解为各广义特征空间公理库广义特征空间Generalized eigenspace · Root space由某个 $(T-\lambda I)^k$ 消去的全部向量组成的最大特征根空间。的直和，再在每个空间内选择链基。它也展示了Cayley–Hamilton 定理公理库Cayley–Hamilton 定理Cayley–Hamilton theorem每个有限维线性算子都满足自己的特征多项式。为何成立：一个 $\lambda$ 块的尺寸至多为 $\lambda$ 的代数重数，因此特征多项式含有足够高次的 $(x-\lambda )$ 来消去这个块。

将 $t$ 作用定义为原算子后，一个单Jordan块对应一个不可分解模公理库不可分解模Indecomposable module用模端同态中的幂等元判定不可分解，计算二维幂零作用与三直线配置，并区分单性和标量端环。；Krull–Schmidt 定理公理库Krull–Schmidt 分解定理Krull–Schmidt theorem由Fitting核像分解和局部端环证明不可分解直和块唯一，并明确匹配分量后的安全消去步骤。用端同态的核像稳定证明更一般有限维模的不可分解直和块唯一，不要求作用仅由一个算子生成。

在实数或复数计算中，对 $k$ 阶单块 $J=\lambda I+N$，因 $N^k=0$，矩阵指数只留下有限项：

因此线性常微分方程组公理库线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。的解含有 $t^j{e}^{\lambda t}$ 型分量，最高多项式次数由对应块的长度减一给出。离散迭代则用 $J^n$ 的二项式展开：在实或复数域上，线性递推公理库线性递推Linear recurrence relation当前项由固定数量先前项的线性组合给出。的非零特征根 $\lambda$ 若重数为 $m$，相应解由 ${\lambda }^n,n{\lambda }^n,\dots ,n^{m-1}{\lambda }^n$ 张成。零特征值对应幂零块，其贡献在有限步后消失。

同样的导数机制可推广到一般 primary 矩阵函数公理库主矩阵函数与 Hermite 插值Primary matrix function · Matrix function by Hermite interpolation用极小多项式规定所需的函数值与导数，经 Hermite 插值定义一般方阵的函数，并区分 primary 与 principal 两种不同的分支要求。：最大 Jordan 块长规定每个特征值处需要多少阶导数，Hermite 插值再把这些有限数据写成矩阵多项式。它也区分同一特征值统一分支与主值分支，不能只把所有对角元素送入标量函数。