秩度量码

独立噪声源和被污染位置不是同一件事 ​

若错误矩阵可写成 $E=UV$，其中 $U\in K^{m\times s}$、$V\in K^{s\times n}$，则每个错误列都是 $U$ 的列的线性组合，故 $\mathrm{rank}E\le s$。一个方向可以通过许多非零组合系数传播到所有位置，并不因传播得广就增加独立方向数。

反过来，秩为 $r$ 的矩阵可选 $r$ 个独立列作为 $U$，再把所有列的坐标放入 $V$，得到这种分解。因此秩恰好是表达全部错误所需的最少方向数，而不只是某种方便的上界。

例如在 $L={\mathbb{F}}_{16}={\mathbb{F}}_2[a]/(a^4+a+1)$，取基 $(1,a,a^2,a^3)$，错误

的四列全为 $(0,0,0,1{)}^t$。它有四个非零坐标，却只有一个独立列。相比之下，$(1,a,0,0)$ 只改动两个位置，秩却是二。

为什么它确实是一种距离 ​

零秩矩阵只能是零矩阵，负号不改变秩，所以分离性和对称性成立。三角不等式来自

令 $A=M_B(x-y)$、$B=M_B(y-z)$ 即得 $d_R(x,z)\le d_R(x,y)+d_R(y,z)$。距离的这个性质会直接用于证明译码球不相交。

删除行和删除列要各做一次 ​

沿用Singleton界理路Singleton 界Singleton bound通过删去最小距离减一个坐标，给出码字数、块长与距离之间的普适上界。的“删去部分数据但保持单射”思路。对所有码字删除同样的 $d-1$ 列。若两份剩余矩阵相同，它们之差只有这 $d-1$ 列可能非零，秩至多 $d-1$，与最小距离矛盾。因此删列映射在码本上单射，得到

再删除同样的 $d-1$ 行，得到 $|C|\le q^{n(m-d+1)}$。两式取较小上界：若 $m\ge n$，第一式较紧；若 $n\ge m$，第二式较紧，恰好合成(2)。证明只比较不同码字，从未用线性性。

改变底域会改变重量 ​

对任意 $x$，其底域张成维数不超过非零生成元个数，因此

右侧是Hamming重量理路Hamming 距离Hamming distance等长字中不同坐标的数量；由逐位比较、三角不等式和 Hamming 球解释检错与唯一纠错半径。。通常不相等，而且秩重量还依赖底域。以 $L={\mathbb{F}}_{16}$ 中的 $b=a^2+a$ 为例，$b\in {\mathbb{F}}_4\setminus {\mathbb{F}}_2$。向量 $(1,b)$ 在二元底域上秩二，在四元底域上秩一。只给扩域和向量，省略底域，无法确定这个重量。

同一个扩域非零标量同时乘所有坐标，是一个可逆底域线性变换，保持秩。右乘任意 $V\in {\mathrm{GL}}_n(K)$ 也保持秩，因为它可逆地重新混合各列。

然而，不同坐标分别乘不同扩域标量未必保持秩。在 $a\notin K$ 时，$(1,1)$ 的秩为一，分别乘以 $1,a$ 后得到 $(1,a)$，秩变为二。不能直接搬用Hamming码中任意非零逐坐标缩放保持距离的结论。

两种上界的取法能算出不同答案 ​

设矩阵尺寸为 $m=2,n=4$，希望最小秩距离为二。只删一列给 $|C|\le q^6$，还没得到最紧结论；删一行给 $|C|\le q^4$，故矩形界为 $q^4$。尺寸和底域都是界的一部分。

若 $n\le m$、扩域线性维数为 $k$，代入 $|C|=q^{mk}$ 后得到(3)。若 $n>m$，不能仍把 $n-k+1$ 当作矩形界的完整内容，应回到(2)重新代入。

秩一球有多少个词 ​

非零秩一矩阵均可写成 $u{v}^t$，其中 $u\in K^m\setminus \{0\}$、$v\in K^n\setminus \{0\}$。两对向量给同一矩阵，当且仅当它们相差

证明可以先比较非零列得到两份 $u$ 成比例，再逐列确定 $v$ 的逆比例。因此非零秩一矩阵数为 $(q^m-1)(q^n-1)/(q-1)$。加上零错误，半径一球大小为

二元 $4\times 4$ 矩阵中，这个数是 $226$。这里是在计算整个球，不能只枚举“恰好一个非零坐标”的错误。

距离保证与译码证书 ​

设 $t\ge 0$ 为整数且 $2t<d$。若接收词 $y$ 同时距两个不同码字至多 $t$，三角不等式就给 $d_R(c,c^{\prime })\le 2t<d$，矛盾。因此每个接收词至多属于一个半径 $t$ 的码字球。

这说明：若实际错误秩至多 $t$，找到球内码字就恢复了发送者。但若实际错误超出预算，一个接收词仍可能落入另一合法码字球。成功输出认证球内唯一候选；它不独自证明传输过程遵守了错误预算。若算法能完整判定球内是否有码字，失败则应准确表述为“没有半径内码字”，而不是“已经定位了真实错误”。

在 $4\times 4$ 二元矩阵中，下一页构造的256码字、距离三的Gabidulin码理路Gabidulin码与Moore求值Gabidulin code · Gabidulin evaluation code在底域独立的求值点上评价低q次数线性化消息，构造达到秩Singleton界的线性码，并证明最小距离与任意k个坐标的擦除恢复。有互不相交的226元半径一球，共覆盖 $256\cdot 226=57856$ 份输入。全部输入有 $2^{16}=65536$ 份，因此还剩7680份不属于任何这样的球。

能解释哪些网络错误 ​

线性网络编码理路线性网络编码Linear network coding让中间节点转发有限域线性组合，以接收矩阵的满秩性刻画无噪多播的恢复条件。中的包被底域线性组合传播；若加性污染最终可表示为 $UV$，秩界就量化独立污染方向。但本页没有自动处理未知传输矩阵、丢包或行列擦除。把接收数据化成已知求值点下的加性向量信道，还需要单独说明相应网络接口。

终点任务要求同时交出错误矩阵、两种重量、矩形删除界和完整秩一球计数，先把噪声的含义说清，再进入结构化编码与恢复。