本终点沿秩度量与插值恢复路线，把噪声方向计数理路秩度量码Rank-metric code · 秩距离码以错误矩阵的秩或扩域符号张成的底域维数衡量噪声，证明矩形Singleton界、秩一球计数及唯一纠错半径。、Moore求值构造理路Gabidulin码与Moore求值Gabidulin code · Gabidulin evaluation code在底域独立的求值点上评价低q次数线性化消息，构造达到秩Singleton界的线性码，并证明最小距离与任意k个坐标的擦除恢复。和完整半径判定理路Gabidulin码的插值译码Gabidulin interpolation decoder · Linearized interpolation decoding用首一错误湮灭多项式建立扩域线性插值系统，经左因子形式复合除法与残差秩复核，返回唯一半径内码字或完整的无半径内码字结论。放在同一份输入上。每个任务都要求输出可检查的数据和结论条件；只给消息或一个“通过”不足以完成任务。

主输入为 $K={\mathbb{F}}_2$、$L={\mathbb{F}}_2[a]/(a^4+a+1)$。整数标签 $z=\sum z_i{2}^i$ 代表元素 $\sum z_i{a}^i$，因此 $a$ 的标签为2，$a^3$ 为8。标签不是模16整数。向量按行写，基坐标按列装入矩阵，$q$ 多项式数组下标 $j$ 对应 $X^{q^j}$。

任务一：先证明这是什么噪声 ​

输入。 两个错误向量 $e=(a^3,a^3,a^3,a^3)$、$e^{\prime }=(1,a,0,0)$，以及矩形参数 $m=2,n=4,d=2$。

应交付。 写出两个二元错误矩阵、Hamming与秩重量，证明换基不改变秩而逐坐标扩域缩放未必保持秩；再从删行和删列分别计算给定矩形参数的Singleton上界，并推导主例的半径一球大小。

核验答案。

$$M(e)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right),M(e^{\prime })=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

所以两份 $({\mathrm{wt}}_H,{\mathrm{wt}}_R)$ 分别为 $(4,1)$、$(2,2)$。换基左乘可逆矩阵，不改变像维数。分别缩放 $(1,1)$ 的两坐标为 $(1,a)$ 却把秩一变为二。

若不同码字在删去一列后相同，原差矩阵秩至多一，与 $d=2$ 矛盾，所以删列单射给 $q^{2\cdot 3}=q^6$。删一行同理给 $q^{1\cdot 4}=q^4$，必须取更紧的后者。

非零秩一矩阵的外积表示 $u{v}^t$ 恰有 $q-1$ 个比例重复，因此二元 $4\times 4$ 半径一球含 $1+(16-1{)}^2=226$ 份错误。只列出四个单位置错误并不是枚举这个球。

迁移。 令 $b=a^2+a$。直接核对 $b^4=b$、$b\notin {\mathbb{F}}_2$，说明 $(1,b)$ 在二元底域上秩二，在四元底域上秩一。此时改变的是所允许的组合系数，不是向量本身。

任务二：用低q次数给出码距，并恢复擦除 ​

输入。 $g=(1,a,a^2,a^3)$，消息为 $f_{0}X+f_1{X}^2$，具体取 $f=aX+X^2$。

应交付。 生成矩阵、消息空间大小、最小秩距离的下界与取等消息、具体码字，以及只保留头两个坐标时的恢复步骤。再用三个互异但相关的点破坏距离保证。

核验答案。 生成矩阵两行为 $g$ 与 $g^2$，消息有256份。非零消息的核维数至多一，而输入张成四维空间，因此输出重量至少三。取 $f=X^2+aX$，其根集恰为 $\{0,a\}$，核维数一，故重量恰三，距离也恰三。

码字标签为

$$c=(3,0,11,15),$$

即 $(a+1,0,a^3+a+1,a^3+a^2+a+1)$。头两个正确坐标给 $f_0+f_1=a+1$ 和 $a{f}_0+a^2{f}_1=0$，消去 $f_0$ 得 $(a^2+a)f_1=a^2+a$，所以 $f_1=1,f_0=a$。对于任意另两个位置，Moore方阵同样可逆，因为它们仍是底域独立集。

反例用 $g^{\prime }=(1,a,1+a)$、$k=1$：消息 $X$ 的输出只有秩二，不能得到独立点合同下应有的距离三。指出“互异”不能替代“底域独立”，并说明零点也不能属于独立输入集。

完整性检查。 枚举255个非零码字应得到225份秩三、30份秩四；枚举256条消息及六种两坐标存活位置，1536次擦除插值应全部恢复原消息。实际传输若没有标出错误位置，这一擦除过程没有恢复保证。

任务三：交出成功、无解与辅助多解三类证书 ​

输入。 将上一题四个码字坐标都加上标签8，得到 $y=(11,8,3,7)$；纠错半径为 $t=1$。

应交付。 以 $({\nu }_0,{\nu }_1,{\nu }_2,{\lambda }_0)$ 为未知量写出插值增广矩阵和RREF，恢复 $N,\mathrm{\Lambda }$，按 $N=\mathrm{\Lambda }\circ f+R$ 的方向求商，重新编码并核残差秩。随后处理无错输入 $y=c$ 和失败输入 $(0,0,1,3)$。

成功答案。 增广矩阵为

$$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 1& 1& 11& 9\\ 2& 4& 3& 8& 12\\ 4& 3& 5& 3& 5\\ 8& 12& 15& 7& 6\end{array}\right).$$

其RREF是单位阵拼上列 $(3,12,1,8{)}^t$。因此

$$\mathrm{\Lambda }=X^2+a^{3}X,N=X^4+(a^3+a^2)X^2+(a+1)X,$$

形式商为 $aX+X^2$，余式为零。残差标签 $(8,8,8,8)$ 只有一个独立方向，确在预算内。

辅助多解答案。 对无错输入 $y=c$，所有解是

$$({\nu }_0,{\nu }_1,{\nu }_2,{\lambda }_0)=(0,4,1,0)+v(2,1,0,1),v\in L,$$

这里加法和乘法仍是域运算。16份辅助解都给 $\mathrm{\Lambda }=X^2+vX$ 和 $N=\mathrm{\Lambda }\circ f$，所以都恢复同一消息。这反驳“译码唯一，故辅助系统唯一”的说法。

失败答案。 输入 $(0,0,1,3)$ 得到 $\mathrm{\Lambda }=X^2$、$N=6X^4+X^2+7X$。形式除法的余式 $7X$ 非零，所以没有距离至多一的码字。应同时解释为什么失败能排除所有候选：若存在半径内消息，误差映射核至少三维，而差多项式 $N-\mathrm{\Lambda }\circ f$ 的 $q$-次数小于三；它必须形式为零，与当前余式矛盾。

预算边界。 若发送零词却收到 $c=(3,0,11,15)$，算法会输出消息 $(2,1)$。这不是违反算法保证，因为真实错误秩为三。成功输出只认证唯一球内码字；附加真实错误秩至多一的承诺后，才认证发送者消息。

任务四：改底域、改长度并审计完整搜索范围 ​

输入。 取 $L={\mathbb{F}}_2[z]/(z^6+z+1)$，$K={\mathbb{F}}_4=\{0,1,z^5+z^4+z^3+z,z^5+z^4+z^3+z+1\}$。底域元素标签为 $0,1,58,59$。令 $g=(1,z,z^2)$、$k=1,t=1$，发送 $f=zX$，三坐标均加 $z^3$。

应交付。 核对底域固定点条件、输入独立性、接收词和恢复多项式；写出逆Frobenius指数，并说明为什么不能用平方替换四次幂。最后运行公开程序，对照穷举和样本范围。

核验答案。 底域元素满足 $x^4=x$，$L/K$ 的维数为三。主码字标签 $(2,4,8)$，接收词 $(10,12,0)$。精确插值得

$$\mathrm{\Lambda }=X^4+24X,N=16X^4+48X,$$

其中 $24=z^4+z^3$、$16=z^4$、$48=z^5+z^4$。这些系数满足 $\mathrm{\Lambda }\circ (zX)=N$，残差 $(8,8,8)$ 的四元秩为一。消去复合最高项时要解 $c^4=u$，所以取 $c=u^{4^2}=u^{16}$，不是套用绝对六维二元扩域的平方步骤。

运行和范围。 下载程序及结果，用 Python 运行程序并以 --output 指定输出文件；再以 Python 的 -O 选项运行，结果JSON应逐字相同。程序只依赖标准库，所有验算用显式异常，不依赖assert。

程序对八元域长度三的一维码、十六元域长度四的二维码、十六元域长度三的一维码、二十七元域长度三的一维码逐输入穷举接收空间。主例65536份输入中，应有57856份成功、7680份失败；后者各有3840份在线性相容性与形式余式两个出口失败。每份结果均与另建的完整纠错球字典比较。

六十四元域、四元底域的长度三码枚举全部码字与秩一球，但只选择3160份接收词运行译码器，其中包括零码字的全部1324份秩至多一错误。这一部分明确是接收词样本。另以六十四元域的二元底域、长度六、$k=2,t=2$ 检查4096份预算内输入；这也不是全部接收空间。还需报告非法半径、相关求值点、错误长度的拒绝，以及零半径和 $k=n$ 的端点。

通过标准。 四份任务的数学条件、成功与失败出口、域标签、复合方向、具体数值以及穷举范围全部一致。一般正确性由正文证明，小域实验验证实现；二者不能互相代替。