谱簇子空间的残差与间隔界

一簇相近的特征值可能让簇内坐标轴大幅旋转，但只要整簇远离其余谱，所张成的平面仍可以稳定。$R$ 测量 $A$ 把近似平面推出自身的分量，$\delta$ 则测量把这部分误差解释为“错平面”时需要的放大。

把 $Q$ 换为 $QW$，其中 $W$ 酉，$H$ 变成 $W^{\ast }HW$，$R$ 变成 $RW$，各范数与误差不变。用SVD理路奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。取 $X^{\ast }Q$ 的奇异值为 $\cos {\theta }_j$，则 $Q^{\ast }(I-P)Q=I-(X^{\ast }Q{)}^{\ast }(X^{\ast }Q)$ 给出 $d_2=\underset{j}{max}\sin {\theta }_j$、$d_F^2=\sum _j{\sin }^2{\theta }_j$。这解释了“sin Θ”所度量的对象。

重根目标平面的完整残差计算 ​

取 $A=\mathrm{diag}(1,1,5)$，目标 $X=[e_1,e_2]$，近似基

有

互补矩阵为 $A_{\perp }=(5)$，所以 $\delta =5-61/25=64/25$。残差范数 $\Vert R{\Vert }_2=\Vert R{\Vert }_F=48/25$，得到 $d_2\le 3/4$。实际 $X_{\perp }^{\ast }Q=(0,3/5)$，所以 $d_2=d_F=3/5$。

保留投影残差还能取到等号：$\Vert X_{\perp }^{\ast }R\Vert =192/125$，除以 $64/25$ 恰为 $3/5$。主角分别为 $0$ 与 $\arcsin \left(3/5\right)$，第一方向已经完全正确，误差只来自第二方向向外倾斜。

残差为零也未必选对目标簇 ​

对同一个 $A$，若取 $Q=[e_1,e_3]$，则 $R=0$，但近似空间包含错误的高谱方向。此时 $H$ 含 $5$，与目标空间的互补谱相交，$\delta =0$，定理不适用。残差必须配合谱簇识别，不能凭 $R=0$ 宣称已经找到指定簇。

另一方面，在正确平面内把 $e_1,e_2$ 旋转 ${45}^{\circ }$，仍有 $R=0$、$d_2=0$，尽管每列与原先选中的轴都不相同。目标重根没有唯一的单向量对应，但整个平面有明确意义。

若 $Q$ 是 $A+E$ 的某一不变空间正交基，那么关于 $A$ 的压缩残差是 $R=-(I-Q{Q}^{\ast })EQ$，故 $\Vert R{\Vert }_2\le \Vert E{\Vert }_2$。结合分隔条件就得到 Davis–Kahan 型扰动控制；选择对应簇及验证其维数和间隔仍是必要输入。

有限精度下必须先检查 $Q^{\ast }Q$ 接近 $I$，再控制正交化和残差误差。若几列几乎相关，直接把未归一的 $AQ-QH$ 当作子空间证书可能任意缩小数值。Ritz 压缩理路Hermitian 压缩、Ritz 值与交错Cauchy interlacing theorem · Poincaré separation theorem · Hermitian Ritz values证明子空间压缩的有序谱交错，算出 Ritz 向量与原残差，并说明压缩特征值何时不是真特征值。说明 $H$ 的来源，单向量证书理路Hermitian 特征对的残差与方向证书Hermitian eigenpair residual bound · Residual-gap eigenvector angle bound把可计算特征对残差分别转成谱距离、结构化后向误差与有谱隙条件的方向界，并核验三阶扰动。是 $m=1$ 的对应机制。