Hermitian 特征对的残差与方向证书

残差小意味着方程闭合得好。Hermitian 的正交谱坐标防止不同错误分量互相抵消，因而能保证附近确有谱点；但若两个谱点靠得很近，沿它们之间旋转也只产生很小残差。

方向误差因此一定需要间隔。重特征值内部没有唯一轴可追踪，正确对象是整个特征空间；把所有单位向量强行与某一条选定轴比较，会把合法的基变化误判成失败。

图中红色分量是正交投影误差，不是残差 r。定理把两者通过谱间隔联系起来，不能把它们直接画成同一向量。

用已知参考谱认证受扰动的顶端方向 ​

取 $\epsilon \in \mathbb{R}$，令

候选值 $\rho =u^{T}Bu=5$，残差 $r=(0,\epsilon ,0{)}^T$，范数为 $t$。与 $\epsilon =0$ 的矩阵比较，Weyl 界理路Hermitian 特征值的有序扰动界Weyl eigenvalue perturbation bound · Weyl monotonicity theorem从变分原理证明 Hermitian 特征值按序配对的绝对误差界，并在同一三阶扰动中核验尺度与谱隙。给 ${\mu }_1\in [1-t,1+t]$、${\mu }_2\in [3-t,3+t]$、${\mu }_3\in [5-t,5+t]$，三个区间分离。

因此距 $5$ 不超过 $t$ 的目标是唯一的顶端特征值 ${\mu }_3$。其余两根到 $5$ 的距离至少为 $2-t$，所以对应单位向量 $v_3$ 满足

$t=1/2$ 时，谱误差界为 $1/2$，正弦角界为 $1/3$。证书没有用到未知的精确特征向量；它所需的间隔下界来自已知参考谱和扰动范数。

没有间隔，小残差可以对应大角度 ​

取 $A_{\eta }=\mathrm{diag}(0,\eta )$、$u=(1,1{)}^T/\sqrt{2}$，$\eta >0$。Rayleigh 商为 $\eta /2$，残差范数为 $\eta /2\to 0$，但 $u$ 与任一坐标特征轴的角度都为 ${45}^{\circ }$。若把目标指定为 $e_1$，互补距离也为 $\eta /2$，本页只给平凡上界 $1$，准确反映了缺少分离的信息。

用于幂迭代理路幂迭代Power method · Power iteration反复应用矩阵并归一化，以谱隙筛出唯一主模特征方向，同时用残差判断所得特征对。或逆迭代理路Hermitian 特征问题的逆迭代与 Rayleigh 商迭代Inverse iteration · Shifted inverse iteration · Rayleigh quotient iteration · 逆迭代与 Rayleigh 商迭代通过求解移位线性系统放大目标附近的特征方向，并用动态 Rayleigh 移位获得 Hermitian 问题的局部三次收敛。验收时，应分别记录归一化、Rayleigh 商、原矩阵残差、目标识别依据和互补间隔下界。多个候选可能都靠近同一个真特征值，单独的残差包围不保证已经找全谱。

若浮点残差 $\hat{r}$ 的计算误差有上界 ${\eta }_r$，只能安全使用 $\Vert r\Vert \le \Vert \hat{r}\Vert +{\eta }_r$。严格数值证书还需对间隔使用可靠下界；直接把两项打印小数相减不等于验证了谱隙。一般停止与误差的区别见残差与误差估计理路残差、误差估计与停止准则Residual and error estimation · Stopping criterion区分可计算残差与未知真误差，并说明把缺陷转成误差界和停止证书所需的条件。，谱簇的基不变版本见子空间残差界理路谱簇子空间的残差与间隔界Invariant subspace residual bound · Davis–Kahan sin theta theorem · Subspace angle residual certificate把近似子空间的残差投到互补谱块，证明 Frobenius 与分隔区间下的二范数角度界，避免追踪重根内部任意基。。