Bauer–Fike 谱扰动定理

在特征向量坐标里，矩阵的作用独立，但把普通坐标的扰动送进去，再把结果送回来，要经过 $V^{-1}$ 和 $V$。若特征方向接近平行，这两次坐标转换可能很敏感。

条件数属于所选的特征向量矩阵。把某一列放大不会改变它代表的方向，却会改变 ${\kappa }_2(V)$，所以报告数值时应说明列归一化或其他缩放。定理对任意合法 $V$ 成立，但随意的差缩放会让界格外松。

可对角化仍可能远比 Hermitian 敏感 ​

取 $\tau >0$，

两列分别是单位特征向量。$V^{\ast }V$ 的对角元为 $1$，非对角元为 $c=1/\sqrt{1+{\tau }^2}$，特征值为 $1\pm c$，因此

在左下角加 $\eta \ge 0$，即 $E=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ \eta & 0\end{array}\right)$，有 $\Vert E{\Vert }_2=\eta$。新特征值为

取 $\tau =1/10$、$\eta =1/10000$，${\kappa }_2(V)\approx 20.049876$，包围半径约为 $0.002004988$。两个谱点分别从 $1,1.1$ 移动约 $0.000990195$，确实在界内，却约为扰动范数的 $9.90$ 倍。把 Hermitian 情形的常数 $1$ 照搬过来会给出错误证书。

缺陷极限不能靠写一个巨大条件数糊过去 ​

当 $\tau =0$，$A_0$ 是二阶 Jordan 块，没有可逆的特征向量矩阵，本定理的假设失去意义。此时同样的扰动造成 $1\pm \sqrt{\eta }$，不再有对固定 $A_0$、所有小扰动都成立的有限常数乘 $\eta$ 界。应分析缺陷结构或伪谱，不能凭一次浮点特征向量分解假装获得了合法 $V$。

正规矩阵可选酉 $V$，于是 ${\kappa }_2(V)=1$，得到新谱到旧谱的距离不超过 $\Vert E{\Vert }_2$。若 $A$ 与 $A+E$ 都 Hermitian，则Weyl 界理路Hermitian 特征值的有序扰动界Weyl eigenvalue perturbation bound · Weyl monotonicity theorem从变分原理证明 Hermitian 特征值按序配对的绝对误差界，并在同一三阶扰动中核验尺度与谱隙。还能按升序一一配对；这是利用额外结构得到的加强，不能由本页单向包含直接改写。

给单位候选向量 $u$ 与标量 $\rho$，设 $r=Au-\rho u$。取 $E=-r{u}^{\ast }$，则 $(A+E)u=\rho u$，且 $\Vert E{\Vert }_2=\Vert r{\Vert }_2$。本定理给

这个界仍需要已认证的可对角化与条件数信息；小残差本身不能消去问题的敏感性。Hermitian 情形有更强、无需计算 $V$ 条件数的结构化残差证书理路Hermitian 特征对的残差与方向证书Hermitian eigenpair residual bound · Residual-gap eigenvector angle bound把可计算特征对残差分别转成谱距离、结构化后向误差与有谱隙条件的方向界，并核验三阶扰动。。