Hermitian 特征值的有序扰动界

扰动二范数控制的是每个单位方向上的能量改变。无论变分公式最终选择哪一个子空间，其中每个方向的改变都受到同一个界限制，因此子空间之间的最优选择也无法超出它。

排序处理了谱点相遇或重数变化，无需给相交的特征值曲线强行贴永久标签。它保证特征值的稳定性，却没有给同序特征向量一个连续、唯一的选法。

同一三阶矩阵的三条配对证书 ​

取 $\epsilon \in \mathbb{R}$，并令

$A$ 的升序谱为 $(1,3,5)$。$E$ 在 $e_1$ 上为零，在后两个坐标上是 $\left(\begin{array}{cc}0& \epsilon \\ \epsilon & 0\end{array}\right)$，特征值为 $0,\pm t$，所以 $\Vert E{\Vert }_2=t$，而不是 $\sqrt{2}t$；后一个数是 Frobenius 范数。

记 $B=A+E$ 的升序谱为 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3$，便有

$t<1$ 时三个区间两两分离，故各特征值均简单；特别地 ${\mu }_3-{\mu }_2\ge 2-2t>0$。在 $\epsilon =1/2$ 时，区间分别为 $[1/2,3/2]$、$[5/2,7/2]$、$[9/2,11/2]$。它们比只按行和得到的前两根共用包围更细。

绝对误差小不表示相对误差小 ​

令 $A=\mathrm{diag}({10}^{-12},1)$，$E=\mathrm{diag}(-{10}^{-12},0)$。范数扰动只有 ${10}^{-12}$，最小特征值却从 ${10}^{-12}$ 变成零，相对改变为 $100\mathrm{\%}$。本定理不提供每个小特征值的相对准确性，也不保证矩阵远离奇异。

Hermitian 条件不能删除。$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，在左下角加 $\epsilon >0$ 后，特征值变成 $\pm \sqrt{\epsilon }$，而扰动范数为 $\epsilon$。当 $0<\epsilon <1$，谱移动大于本页常数为一的界；这不是定理失效，而是输入不满足假设。

若 ${\lambda }_1(A)>\Vert E{\Vert }_2$，则 $A+E$ 仍正定。更一般地，某个谱簇与其余谱的原间隔为 $g$，且 $\Vert E{\Vert }_2<g/2$，则两边经过这项包围后仍不会相交，提供选择对应谱簇的依据。

方向证书的分母却不能随意用 $g$。例如对上例候选 $u=e_3$、$\rho =5$，所需的是 $5$ 到 $B$ 的其余特征值的距离，至少为 $2-t$；它与 $B$ 的真实顶端间隔下界 $2-2t$ 是两个不同量。残差到方向误差理路Hermitian 特征对的残差与方向证书Hermitian eigenpair residual bound · Residual-gap eigenvector angle bound把可计算特征对残差分别转成谱距离、结构化后向误差与有谱隙条件的方向界，并核验三阶扰动。会明确使用哪一个。

QR理路QR 特征值算法QR algorithm · Shifted QR algorithm · Francis QR algorithm先化 Hessenberg 或三对角形，再用隐式移位 QR、bulge chasing 与 deflation 计算 Schur 形和全部特征值。等稳定算法给出的后向误差，只有在被解释为同类 Hermitian 扰动时，才能直接代入本页得到有序前向谱界。一般非正规问题要转用Bauer–Fike理路Bauer–Fike 谱扰动定理Bauer–Fike theorem · Bauer-Fike theorem在可对角化假设下，以特征向量基的条件数控制全部新谱点，分清谱包围、配对和缺陷矩阵的边界。或预解分析。

若已知扰动是一个外积，秩一久期方程理路秩一谱更新的久期方程与消去Rank-one secular equation · Diagonal plus rank-one eigenproblem · Secular equation deflation把Hermitian秩一更新化为单调有理方程，先处理重极点和零分量，再用精确符号隔离全部新根并核对重数。还能利用旧谱基先消去重根空间中的不变方向，再逐间隔求出全部活动根；这需要处理零分量和保留值的重数。若关心全部配对误差的总平方和，Hoffman–Wielandt界理路Hoffman–Wielandt谱匹配平方和界Hoffman–Wielandt theorem · Hoffman-Wielandt inequality · Frobenius spectral matching bound由酉基重叠的双随机权重证明正规矩阵谱的一一匹配平方和界，并区分实谱排序、复谱指派和非正规失败。给出Frobenius预算，补充本页逐项二范数保证。