Gershgorin 圆盘与谱簇计数

形式陈述

不先求根，怎样保证谱在某些区域内

设 $A=(a_{ij})\in\mathbb C^{n\times n}$ ， $n\ge1$ 。令

R_i=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|, \qquad D_i=\{z\in\mathbb C:|z-a_{ii}|\le R_i\}.

每个特征值都在 $\bigcup_iD_i$ 内。圆心是 $a_{ii}$ 本身，不是其绝对值。对列半径 $C_j=\sum_{i\ne j}|a_{ij}|$ 也有同样包含关系，因此可把行圆盘并集与列圆盘并集再取交集。

若选出的 $k$ 个圆盘的并集与其余 $n-k$ 个圆盘的并集不相交，则选出区域内恰有 $k$ 个特征值，按代数重数计。选中的圆盘内部可以互相重叠；“每个圆盘各有一个特征值”一般不成立。

最大坐标为什么给出包含关系

取 $Ax=\lambda x$ ，并选 $|x_i|=\max_j|x_j|>0$ 。第 $i$ 行给出

(\lambda-a_{ii})x_i=\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j,

所以 $|\lambda-a_{ii}|\le\sum_{j\ne i}|a_{ij}|\,|x_j|/|x_i|\le R_i$ 。对 $A^T$ 使用同一论证，而转置保持特征多项式，就得到列版本。行、列证书的所属指标不必相同，不能直接逐指标相交。

为什么隔离的 k 个圆盘恰好带着 k 个根

令 $A(s)=D+s(A-D)$ ，其中 $D=\operatorname{diag}(a_{11},\ldots,a_{nn})$ 、 $0\le s\le1$ 。对应圆盘半径是 $sR_i$ ，始终包含于最终圆盘；所以任意 $s$ 的谱都不能穿过两组最终圆盘之间的空隙。

严格说明计数不变时，可在这条空隙内选有限条闭合多边形边界 $\Gamma$ ，其绕数对选中区域为 $1$ 、对其余圆盘为 $0$ 。令 $p_s(z)=\det(zI-A(s))$ 。边界上始终无零点，由留数定理，

N(s)=\frac1{2\pi i}\int_\Gamma\frac{p_s'(z)}{p_s(z)}\,dz

正好数出选中区域的根，重数就是各零点的留数。被积函数对 $s$ 连续且分母在紧边界上远离零，所以 $N(s)$ 连续；它又只取整数，因此恒定。在 $s=0$ ，全部根就是对角元，恰有选定的 $k$ 个落在该区域，故 $N(1)=k$ 。这项证明只为簇计数服务，基本包含式不需要复积分。

直觉

第 $i$ 行的非对角项是这一坐标对其他坐标的总耦合。若某个特征向量在该坐标上最大，耦合不可能把特征值拉离对角元超过这一行的绝对和。

圆盘相交时，几个根可以在整个连通区域里重新分配。真正可靠的计数单位是与其他圆盘隔开的簇，而不是每个画出的圆。

ε等于二分之一时的三个Gershgorin圆盘，两个同心左盘组成两根簇，右盘是单根簇。

图按统一线性尺度绘制复平面圆盘；对称性另保证谱在实轴。圆心的坐标刻度不表示那里一定存在特征值。

例子与边界

三阶扰动的两根簇与单根簇

取实数 $\varepsilon$ ，记 $t=|\varepsilon|$ ，并令

B=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&\varepsilon\\0&\varepsilon&5\end{pmatrix}.

行圆盘为 $D(2,1)$ 、 $D(2,1+t)$ 、 $D(5,t)$ 。因为 $B$ 对称，谱为实数，可将它们与实轴相交。第一个圆盘包含于第二个，于是所有特征值都位于

[1-t,3+t]\ \cup\ [5-t,5+t].

当 $t<1$ 时， $3+t<5-t$ ，两个区域分离。前者由两个圆盘组成，恰含两根；后者恰含一根。 $t=1$ 时两组相切，已不满足不相交条件，不能继续用同一论证宣称一根与两根分别归属。

换坐标可把无用的大圆盘变成两个隔离圆盘

对

M=\begin{pmatrix}1&100\\1/100&4\end{pmatrix}

原行半径为 $100$ 和 $1/100$ 。第二个小圆盘甚至没有特征值，因为真谱为 $(5\pm\sqrt{13})/2$ 。取 $S=\operatorname{diag}(100,1)$ ，则

S^{-1}MS=\begin{pmatrix}1&1\\1&4\end{pmatrix}.

新半径都是 $1$ ，圆盘 $D(1,1)$ 与 $D(4,1)$ 分离，各含一根。这是相似缩放，没有改变特征值；改变的是坐标下的行耦合证书。一般缩放 $S=\operatorname{diag}(s_i)$ 、 $s_i>0$ 给半径 $\sum_{j\ne i}|a_{ij}|s_j/s_i$ ，缩小一行也可能扩大另一行。

推论与应用

若所有圆盘避开 $0$ ，矩阵可逆；对 Hermitian 矩阵，若所有实轴区间都在正半轴，矩阵正定。两者都是充分条件，圆盘碰到零不能反推矩阵奇异或非正定。

圆盘提供无需近似特征向量的初始包围。已有参考矩阵的谱时，有序扰动界往往更细；已有候选向量时，残差证书还能给局部距离。三者的输入和保证各不相同，不能把圆盘中心自动当作已认证近似根。

参考资料

Nicholas J. Higham，What Is Gershgorin’s Theorem?，Theorems 1–2：包含、孤立簇计数与对角缩放。
Richard S. Varga，Geršgorin and His Circles，Springer，2004，圆盘定位理论的系统专著；出版社页面。

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