Hermitian 压缩、Ritz 值与交错

形式陈述

只看一部分方向，谱会怎样变化

设 $A=A^*\in\mathbb C^{n\times n}$ ， $Q\in\mathbb C^{n\times m}$ 的列构成子空间 $S$ 的正交规范基，其中 $1\le m\le n$ 。压缩矩阵

H=Q^*AQ

为 $m$ 阶 Hermitian 矩阵，其特征值 $\theta_1\le\cdots\le\theta_m$ 称为 $A$ 在 $S$ 中的 Ritz 值。若原谱升序为 $\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n$ ，则

\lambda_i\le\theta_i\le\lambda_{i+n-m},\qquad 1\le i\le m.

特别地，删除一行及同指标的一列得到主子矩阵时， $m=n-1$ ，于是 $\lambda_i\le\theta_i\le\lambda_{i+1}$ ，这叫 Cauchy 交错。任意删不同指标的行列所得子矩阵未必 Hermitian，不能套用。

两条变分公式为何分别给出两侧

映射 $y\mapsto Qy$ 保持长度，且 $R_H(y)=R_A(Qy)$ 。在Courant–Fischer 公式中， $H$ 的 $i$ 维候选子空间对应于 $S$ 内部的 $i$ 维子空间。对更少的对象取最小值不可能更小，所以 $\theta_i\ge\lambda_i$ 。

再用 max–min 公式： $\theta_i$ 是 $S$ 内所有 $m-i+1$ 维子空间的最小商之最大值；把范围放宽到整个 $\mathbb C^n$ ，最大值只能变大。相应原谱下标由 $n-k+1=m-i+1$ 给出 $k=i+n-m$ ，所以 $\theta_i\le\lambda_{i+n-m}$ 。

若 $Hy=\theta y$ 且 $\|y\|=1$ ，Ritz 向量 $u=Qy$ 的原残差为

r=Au-\theta u=(I-QQ^*)AQy,\qquad Q^*r=0.

这里 $QQ^*$ 是到 $S$ 的正交投影。残差与试验空间正交，是压缩特征方程的含义；残差为零才说明 $u$ 是原矩阵的特征向量。

直觉

压缩先作用 $A$ ，再只保留回到试验空间的那部分。因此矩阵虽变小，跑出试验空间的分量并没有神奇消失，它们恰好留在原残差中。

交错限制小矩阵谱可能出现的位置，却没有声称 Ritz 值就是某一批原特征值。只有试验空间对 $A$ 不变时，外溢分量全部为零，压缩才是限制算子的完整表示。

例子与边界

同一个三阶矩阵，两种截取有不同含义

取

A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&5\end{pmatrix},\qquad Q=[e_1,e_3].

原谱为 $(1,3,5)$ ，而 $H=\operatorname{diag}(2,5)$ 。交错给出 $1\le2\le3$ 与 $3\le5\le5$ ，全部成立。Ritz 向量 $e_1$ 的残差是 $e_2$ ，范数为 $1$ ，因此 Ritz 值 $2$ 不是原特征值； $e_3$ 的残差为零，对应值 $5$ 确实是原谱点。

若改取 $Q_0=[e_1,e_2]$ ，这个平面不变，压缩谱 $(1,3)$ 都是真特征值。判断差异只需看 $AQ-QH$ ，无需把“主子矩阵”误认为“原矩阵的一组特征方向”。

嵌套空间的界怎样收紧

设 $S_m\subset S_{m+1}$ ，维数分别为 $m,m+1$ ，两者 Ritz 值分别记为 $\theta_i^{(m)}$ 、 $\theta_i^{(m+1)}$ 。对大空间的压缩再压到小空间，得到

\theta_i^{(m+1)}\le\theta_i^{(m)}\le\theta_{i+1}^{(m+1)}.

例如先用 $\operatorname{span}(e_1)$ 得到最小 Ritz 值 $2$ ，扩大到 $\operatorname{span}(e_1,e_2)$ 后变为 $1$ 。最低 Ritz 值随嵌套扩张单调下降，但若始终漏掉真正的低谱方向，也可能一直停在错误的上界；交错不提供覆盖速度。

若使用非正交基 $Z$ ，直接拿 $Z^*AZ$ 的特征值会受列缩放影响。正确压缩问题是 $Z^*AZy=\theta Z^*Zy$ ，或先正交化；它属于Hermitian 正定广义特征问题。

推论与应用

Arnoldi/Lanczos通过矩阵乘法构造试验空间，压缩谱提供候选特征值。交错负责位置与单调性，特征对残差证书负责候选离真谱多远；再加入目标与其余谱的间隔，才能讨论方向误差。

对有限元等变分离散，先确认离散空间确实嵌套、内积与压缩一致，再使用单调结论。更换网格、质量矩阵或数值积分可能改变比较对象，不能只凭“自由度增加”断言已满足本页假设。

参考资料

Nicholas J. Higham，Eigenvalue Inequalities for Hermitian Matrices，Cauchy 交错与主子矩阵谱。
Yousef Saad，Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, 2nd ed.，§1.9.2、Chapter 4：变分刻画与正交投影方法。

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两条变分公式为何分别给出两侧 ​

同一个三阶矩阵，两种截取有不同含义 ​

嵌套空间的界怎样收紧 ​

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同一个三阶矩阵，两种截取有不同含义

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