Rayleigh 商与 Courant–Fischer 变分原理

一个方向只给出若干特征值的加权平均。允许选 $k$ 维子空间，却要承担其中最坏的最大值，就不能让这个子空间内的最大值低于 ${\lambda }_k$；最低的 $k$ 个谱方向恰好实现最优选择。

这个维数限制比“选一个接近特征向量的向量”更强，因而能逐个定位中间特征值。它是Rayleigh 商迭代理路Hermitian 特征问题的逆迭代与 Rayleigh 商迭代Inverse iteration · Shifted inverse iteration · Rayleigh quotient iteration · 逆迭代与 Rayleigh 商迭代通过求解移位线性系统放大目标附近的特征方向，并用动态 Rayleigh 移位获得 Hermitian 问题的局部三次收敛。背后的几何工具，却本身不是迭代算法。

三阶矩阵的中间值如何从一个平面读出 ​

取

特征基为 $u_1=(1,-1,0{)}^T/\sqrt{2}$、$u_2=(1,1,0{)}^T/\sqrt{2}$、$u_3=e_3$，对应 $1,3,5$。在平面 $S=\mathrm{span}(e_1,e_2)$ 上，

最大值为 $3$，在 $x=y\ne 0$ 时取到。因此 min–max 给 ${\lambda }_2\le 3$。任意二维平面又必与 $\mathrm{span}(u_2,u_3)$ 相交；交中向量的商至少为 $3$，故 ${\lambda }_2\ge 3$，两侧合起来得到等号。

没有 Hermitian 结构就不能这样排序 ​

对 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$，全部特征值都是 $0$，但在实单位向量上 $x^{T}Bx=2x_1{x}_2$ 的最大、最小值是 $1,-1$。Rayleigh 极值看到的是对称部分 $(B+B^T)/2$，并不恢复 $B$ 的特征值。即使谱全实也不够，必须检查矩阵本身的自伴结构。

若有重特征值，极值子空间和取等向量可能不唯一，公式仍按重数成立。不能从某个数值最优向量反推它是唯一稳定方向。

如果 $x^{\ast }Ax\le x^{\ast }Bx$ 对每个 $x$ 成立，在每个子空间上先取最大值再取最小值，就得到 ${\lambda }_k(A)\le {\lambda }_k(B)$。这是有序特征值对二次型序的单调性，导向Hermitian 扰动界理路Hermitian 特征值的有序扰动界Weyl eigenvalue perturbation bound · Weyl monotonicity theorem从变分原理证明 Hermitian 特征值按序配对的绝对误差界，并在同一三阶扰动中核验尺度与谱隙。。

把子空间的选择限制到给定试验空间，会产生Ritz 值与压缩交错理路Hermitian 压缩、Ritz 值与交错Cauchy interlacing theorem · Poincaré separation theorem · Hermitian Ritz values证明子空间压缩的有序谱交错，算出 Ritz 向量与原残差，并说明压缩特征值何时不是真特征值。。这一迁移适用于有限元、图谱与 Krylov 计算，但误差大小还需要额外的近似或残差证书；变分原理本身不承诺任意小试验空间都足够准确。