Sylvester 惯性定律 | Codeboy's Blog

形式陈述

换基后，正负平方的数目为何不变

设 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ 对称。记 $n_+(A),n_-(A),n_0(A)$ 为正、负、零特征值的个数，均按重数计，三元组称为惯性。对任意实可逆矩阵 $S$ ，

\operatorname{In}(S^TAS)=\operatorname{In}(A).

并且存在 $S$ 使

S^TAS=\operatorname{diag}(I_p,-I_q,0_z), \qquad (p,q,z)=\operatorname{In}(A).

因此两个实对称矩阵合同，当且仅当它们惯性相同。合同来源于二次型的坐标替换 $x=Sy$ ；这里变换式是 $S^TAS$ ，而相似变换是 $S^{-1}AS$ 。

用维数证明唯一性，不依赖选中的主轴

由有限维谱定理，可先正交对角化，再把非零特征方向缩放为系数 $1$ 或 $-1$ ，得到存在性。

对规范型 $D=\operatorname{diag}(I_p,-I_q,0_z)$ ，前 $p$ 个坐标张成一个使 $x^TDx>0$ 对所有非零 $x$ 成立的 $p$ 维子空间。任何维数大于 $p$ 的子空间 $L$ ，投影到前 $p$ 个坐标的限制映射都有非零核，这是秩—零化度定理。核内非零向量的前 $p$ 个坐标为零，于是二次型值不大于零。故 $p$ 恰是严格正定子空间的最大可能维数。

同理， $q$ 是严格负定子空间的最大维数。可逆 $S$ 在子空间间建立保维双射，且 $y^TS^TASy=(Sy)^TA(Sy)$ ，所以这两个最大维数在合同下不变。最后 $z=n-p-q$ 也不变。若两个矩阵惯性相同，把它们分别合同到同一个 $D$ ，再组合逆换基便得到两者合同，完成分类的充分性。

直觉

正特征值的具体大小依赖坐标的长度单位，但能同时容纳多少个独立的正能量方向不依赖这些单位。惯性保留下来的就是这三种方向的维数。

“有多少正方向”不能解释为数满足 $Q(x)>0$ 的向量，那通常有无穷多个；也不能随意从正值向量中选一组就认作正定子空间。一个子空间必须对其中每个非零线性组合都保持正值。

例子与边界

配方直接给出合同证书

取

A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad Q(x,y,z)=x^2+2xy=(x+y)^2-y^2.

令新坐标为 $u=x+y,v=y,w=z$ ，即旧坐标

\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =S\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

计算 $AS=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ，再左乘 $S^T$ 得 $\operatorname{diag}(1,-1,0)$ ； $\det S=1$ 。因此惯性为 $(1,1,1)$ ，没有求特征值也完成了分类证书。

原矩阵的两个非零特征值是 $(1\pm\sqrt5)/2$ ，并非 $1,-1$ 。这说明合同保惯性，却不保特征值；上面的证书不能写成相似证书。

取值为零不等于退化

在 $D=\operatorname{diag}(1,-1)$ 下， $(1,1)^T$ 非零且 $x^TDx=0$ ，但 $Dx\ne0$ ，而且 $n_0(D)=0$ 。惯性中的零指数指矩阵核的维数，不是所有取零值向量的“个数”或张成维数。

实数域条件也重要。在 $\mathbb C$ 上用双线性合同， $i^2=-1$ 会把负平方变为正平方，正负指数失去意义。复 Hermitian 形式则使用 $S^*AS$ ，仍有相同的惯性定律。特征 $2$ 的二次型还存在极化丢失信息的问题，不能照搬实对称分类。

推论与应用

正定、半正定分别对应惯性 $(n,0,0)$ 和 $n_-=0$ 。判正定只回答一个特殊符号问题；完整惯性还能处理不定与退化形式。

若已得到可核验分解 $P^TAP=LDL^T$ ，其中 $P$ 是置换、 $L$ 可逆下三角、 $D$ 是一阶和二阶对称块的块对角矩阵，则 $A$ 与 $D$ 合同，惯性可逐块相加。二阶块必须按它的特征值符号计数，不能只看两项对角元。把这一过程用于 $A-tI$ ，便得到移位惯性谱计数，将符号证书变成区间内的特征值数目。

参考资料

Nicholas J. Higham，What Is the Inertia of a Matrix?，惯性、Sylvester 定律与块 $LDL^T$ 分解。
Roger A. Horn、Charles R. Johnson，Matrix Analysis，2nd ed.，2013，§4.5：合同及惯性。本文以最大正定子空间维数给出唯一性证明。

沿学习路线继续2

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从多项式关系到线性分类证书第 7 / 7 站

上一站二次型

已到本路线终点

单元练习与解答

从谱位置到误差证书第 9 / 11 站

上一站谱簇子空间的残差与间隔界下一站移位惯性与特征值区间计数

形式陈述 ​

换基后，正负平方的数目为何不变 ​

用维数证明唯一性，不依赖选中的主轴 ​

配方直接给出合同证书 ​

取值为零不等于退化 ​

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换基后，正负平方的数目为何不变

用维数证明唯一性，不依赖选中的主轴

配方直接给出合同证书

取值为零不等于退化