移位惯性与特征值区间计数

数值求根给出位置猜测；惯性计数回答在一个切点左侧到底有多少根。移动切点时，只有穿过特征值，计数才会跳跃，跳跃大小就是重数。

因此可以用它验证遗漏与重复：两个端点的计数相差一，就认证区间内恰有一个根，即使没有写出那个根的闭式表达。

同一三阶扰动的有理区间证书 ​

固定 $\epsilon =1/2$，

在 $t=9/10$，递推主元为

全正，所以 $N_{<}(9/10)=0$。在 $t=29/10$，主元为 $(-9/10,19/90,87/95)$，故 $N_{<}(29/10)=1$。在 $t=5$，主元为 $(-3,-8/3,3/32)$，负数有两个；在 $t=51/10$，主元为 $(-31/10,-861/310,-43/4305)$，负数有三个。所有主元非零，四个切点都不是特征值。

切点 $t=1$ 与 $t=3$ 恰好让第二个主元为零，却都不是谱点。消去第一坐标后，分别留下

两个二阶块的行列式都是 $-1/4$，所以各有一正一负，没有零根。于是 $N_{<}(1)=1$、$N_{<}(3)=2$。合并计数，三个有序特征值被分别认证在

这是精确有理区间证书，不依赖浮点特征值打印结果。特征多项式 $\det (xI-B)=x^3-9x^2+(91/4)x-29/2$ 可作独立复核，但无需解这个三次式。

端点是真谱点时怎样处理 ​

对 $A=\mathrm{diag}(1,1,3)$，$t=1$ 时惯性为 $(1,0,2)$，所以 $N_{<}(1)=0$，$N_{\le }(1)=2$。区间 $(1,3)$ 无根，而 $[1,3]$ 有三根。只保存负指数而丢掉零指数，会在这些端点问题上给出错误计数。

每个框独立缩放，只表达端点、开区间和计数差。图没有把未知特征值画在区间中点。

若已认证 $N_{<}(a)<k\le N_{<}(b)$ 且端点不是谱点，就知道第 $k$ 个有序特征值在 $(a,b)$。选中点 $c$ 再计数，便可保留包含目标的半区间；若检测到 $n_0(A-cI)>0$，应先记录恰落在端点的重数，再处理左右剩余部分。终止条件可以是包围宽度达到预定绝对误差，而非迭代差看起来很小。

稠密 Hermitian 矩阵可先通过对称三对角化理路QR 特征值算法QR algorithm · Shifted QR algorithm · Francis QR algorithm先化 Hessenberg 或三对角形，再用隐式移位 QR、bulge chasing 与 deflation 计算 Schur 形和全部特征值。进入这一结构；三对角化的舍入误差仍需计入原矩阵的谱证书。通常浮点 $LD{L}^{\ast }$ 返回的是邻近矩阵的因子；若谱靠近切点，仅靠主元打印符号不能宣称对原矩阵进行了精确计数。

若新矩阵以 $A+UC{U}^{\ast }$ 给出，且切点 $t$ 避开原谱，低秩更新惯性证书理路低秩更新的惯性与小矩阵证书Low-rank update inertia formula · Haynsworth inertia update · Small-matrix spectral count certificate用一个带边框矩阵的两次合同消元，将带正负权低秩更新后的谱计数化为小矩阵惯性，并处理奇异输入和有限精度符号认证。可复用 $(A-tI)$ 的求解，把计数改变归结为一个小矩阵；正负更新的符号与需要减去的辅助惯性都必须保留。原块奇异时不能直接套逆矩阵公式，本页的直接分块计数仍可作为替代路线。

本页计数的是给定有限矩阵的谱。连续 Sturm–Liouville 谱计数理路Prüfer 相角、振荡与谱计数Prüfer phase and Sturm oscillation · Continuous Sturm eigenvalue count · Sturm–Liouville shooting certificate连续提升左端相角，证明参数严格单调、负无穷基准和零点编号，再以误差包围认证开闭谱计数及唯一 shooting 根。使用另一种对象：左端初值解的连续提升相角，其阈值给出整个边值算子的编号。对规范 Neumann 模型，在零特征值处严格计数为一、闭计数为二；一个没有连续离散误差界的矩阵近似不能直接认证这两个等号结论。连续方法同样需要明确阈值端点，却以 ODE 缺陷和相角误差包围承担数值认证。